代数中的扰动方法

代数中的扰动方法利用扰动的方法，是解决有关奇异矩阵的问题的常用方法。具体地说，对于奇异矩阵A，我们可以加上数量阵使其成为非奇异矩阵，因此先解决非奇异的情况，再利用一些收敛原理，将结论推广到奇异的情况。1、任意一个A实方阵可以分解为一个正交阵和一个实上三角阵之积（QR分解）。证第一步：当A可逆时，利用Schmdit正交化的方法可以得到A的QR分解。第二步：当A不可逆时，考虑可逆阵EAε−的QR分解（注：只有有限个ε使得EAε−不可逆），根据以下两个原理：（1）一个正交矩阵序列必然有收敛子列（因为正交群)(nO紧致）；（2）一个有界的上三角序列必然有收敛子列，令0→ε即得所需的QR分解。2、设BA,为方阵，证明：AB与BA具有相同的特征值。证第一步：当B可逆时，()ABBBAB=−1，即AB与BA相似，故BAEABE−=−λλ。第二步：(扰动)当B不可逆时，对充分小的0≠ε，矩阵EBε−可逆。故()()AEBEEBAEελελ−−=−−，利用行列式关于ε的连续性，令0→ε得BAEABE−=−λλ。3、设BA,为n级矩阵，BAAB=，且0=kA，求证：BBA=+。证第一步：当B是单位矩阵E时，由于幂零矩阵特征值都是0，所以EA+的特征值都是1，根据Vieta定理得EEA==+1。第二步：当B可逆时，由BAAB=知1−B与A可交换，故()()011==−−kkkABAB，因此11=+−EAB，即BBA=+。第三步：(扰动)当B不可逆时，对充分小的0ε，矩阵EBε−可逆，故有()EBEBAεε−=−+，令0→ε，即得所需。4、设DCBA,,,是n阶矩阵，且CAAC=,则CBADDCBA−=。证第一步：当A可逆时，将1−−CA左乘第一行加到第二行得=−=−=−=−−−||||||0111BACAADBCADABCADBADCBACBAD−其中最后一个等式是因为CAAC=。第二步：当A不可逆时，考虑可逆矩阵EAε−，则有CBDEADCBEA−−=−)(εε，利用行列式关于ε的连续性，令0→ε即得所需。练习：1．证明：()***ABAB=.2．设nmBAmnnm××,,,证明：AB与BA的特征多项式只差nm−λ.