江苏省2015年专转本高等数学试卷及解答

绝密★启用前江苏省2015年普通高校专转本选拔考试高等数学试题卷注意事项：1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟．2．必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效，作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试题卷和答题卡上的指定位置．3．考试结束时，须将试题卷和答题卷一并交回．一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号与黑）1．当0=x时，函数sin()1e=−xfx是函数()=gxx的（C）．A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小D．等价无穷小解sin000()1esinlimlimlim1()xxxxfxxgxxx→→→−−===−，答案：C．2．函数(1)=−xyx(1x)的微分dy为（B）．A．(1)[ln(1)]d1−−+−xxxxxxB．(1)[ln(1)]d1−−−−xxxxxxC．1(1)d−−xxxxD．1(1)d−−−xxxx解lnln(1)yxx=−，1ln(1)1xyxyx′=−−−，(1)[ln(1)]1xxyxxx′=−−−−，dd(1)[ln(1)]d1xxyyxxxxx′==−−−−，答案：B．3．0=x是函数11e10()e110xxxfxx+≠=−=的（B）．A．无穷间断点B．跳跃间断点C．可去间断点D．连续点解1100e1lim()lim1e1xxxxfx−−→→+==−−，1111000e11elim()limlim1e11exxxxxxxfx+−−−→→→−++===−−，答案：B．4．设()Fx是函数()fx的一个原函数，则(32)d−=fxx(A)．A．1(32)2−−+FxcB．1(32)2−+FxcC．2(32)−−+FxcD．2(32)−+Fxc解11(32)d(32)d(32)(32)22fxxfxxFxc−=−−−=−−+，答案：A．5．下列级数条件收敛的是（D）．A．()211nnnn∞=−−B．11(1)21nnnn∞=+−−C．1!(1)∞=−nnnnnD．211(1)∞=+−nnnn解答案：D．6．二次积分()e11lnd,d=yyfxyx（D）．A．e11lnd(,)dxxfxyyB．1e0ed(,)dxxfxyyC．1e00d(,)dxxfxyyD．1e01d(,)dxxfxyy解()e11e1ln01d,dd(,)dxyyfxyxxfxyy=，答案：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7．设()lim(1)nnxfxn→∞=−，则(ln2)=f▲．12解()lim(1)lim{[1()]}ennxxxnnxxfxnn−−−→∞→∞=−=+−=，ln21(ln2)e2f−==．8．设曲线33211=−+=+xttyt在点(02)，处的切线方程为▲．32yx=+解由2y=得1t=，22dd3ddd32dyyttxxtt==−，1d3dtyx==，切线方程为23yx−=，即32yx=+．9．设向量b与向量(121)=−−，，a平行，且12⋅=ab，则=b▲．(242)−−，，解由于||ab，所以(2)baλλλλ==−−，，，则4612abλλλλ⋅=++==，解得2λ=，因而(242)b=−−，，．e1110．设1()21=+fxx，则()()=nfx▲．()1(1)2!()(21)nnnnnfxx+−⋅=+解111()12122fxxx==⋅++，()111(1)!(1)2!()12(21)()2nnnnnnnnfxxx++−−⋅==++．11．微分方程2′−=xyyx满足初始条件12==xy的特解为▲．2yxx=+解由2′−=xyyx得yyxx′−=，于是有1()pxx=−，()qxx=，则有11dd()d()de(()ed)e(ed)()xxpxxpxxxxyqxxcxxcxxc−−=+=+=+，又12==xy得1c=，所以2yxx=+12．幂级数12(1)∞=−nnnxn的收敛域为▲．13[,)22解121lim2lim221nnnnnnnn+→∞→∞+==+，则有1|1|2x−，解得1322x，当12x=时，级数1(1)nnn∞=−收敛，当32x=时，级数11nn∞=发散，因而收敛域为13[,)22．三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13．求极限020arcsindlim2e22→−−−xxxtttxx．解20200000arcsindarcsin2limlimlimlimlim12e222e222e222e2xxxxxxxxxxtttxxxxxxxxxx→→→→→=====−−−−−−−−．14．设2sin0()00−≠==xxxfxxx，求()′fx．解当0x≠时，243(1cos)(sin)22sincos()xxxxxxxxxfxxx−−−−−′==；当0x=时，232200001()(0)sin1cos12(0)limlimlimlim336xxxxxfxfxxxfxxxx→→→→−−−′=====．所以32sincos0()106xxxxxxfxx−−≠==．15．求通过直线112215xyz+−+==与平面32100++−=xyz的交点．且与直线230240−++=+−−=xyzxyz平行的直线方程．解令112215xyzt+−+===，则有21xt=−，1yt=+，52zt=−，于是有3(21)2(1)(52)100ttt−+++−−=，解得1t=，所以所求直线经过点(123)，，，依题意所求直线的方向向量11253211ijksijk=−=−++−，因而所求直线方程为123153xyz−−−==−．16．求不定积分32d9xxx−．解32d9xxx−3sinxt=令3227sin3cosd27(1cos)sind3costtttttt=−2227(sindcossind)27(coscosdcos)tttttttt=−=−+39cos27costtc=−+3sinxt=3122221(9)9(9)3xxc−−−+2219(18)3xxc=−−++．17．计算定积分222()sindππ−+xxxx．解2222022222()sindsindsind2sindxxxxxxxxxxxxxπππππππ−−−+=+=222200002dcos2(coscosd)2sin2xxxxxxxππππ=−=−−==．18．设(())ϕ=，xzfxy，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数ϕ具有连续导数，求2∂∂∂zxy．解设xuy=，()vxϕ=，则(,)zfuv=，121()zfxfxyϕ∂′′′=+∂，2111212321()zxxxfffxyyyyϕ′∂′′′′′=−−−∂∂．19．计算二重积分ddDxyxy，其中D为曲线24=−yx与直线=yx及直线2=y所围成的平面闭区域．解2222224241ddddd2yyyyDxyxyyyxxyxy−−==⋅22242221(2)d()14yyyyy=⋅−=−=．20．已知2312eee=++xxxyCCx是二阶常系数非齐次线性微分方程()′′′++=ypyqyfx的通解，试求该微分方程．解依题意对应齐次线性方程的特征方程为(1)(2)0rr−−=，即2320rr−+=，则对应齐次线性方程为320yyy′′′−+=；设*3exyx=，则*333ee3(31)exxxyxx′=+⋅=+，*333e(31)e3xxyx′′=++⋅33(32)exx=+，于是***3()32(23)exfxyyyx′′′=−+=+，则该微分方程为332(23)exyyyx′′′−+=+四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）21．设D是由曲线2=yx与直线yax=(0)a所围成的平面图形，已知D分别绕两坐标轴旋转一周所形成的旋转体的体积相等，试求：（1）常数a的值；（2）平面图形D的面积．解554012d315axaVaxxπππ=−=，24401d36ayaVyyaπππ=−=．（1）依题意有xyVV=，解得54a=；（2）平面图形D的面积223300111()d()236aaSaxxxaxxa=−=−=，当54a=时，315125()64384S==．22．设2()(1)+=+axbfxx在点1=x处取得极值14−，试求：（1）常数，ab的值；；（2）曲线()=yfx的凹凸区间与拐点；（3）曲线()=yfx的渐近线．解243(1)()2(1)2()(1)(1)axaxbxaxabfxxx+−+⋅+−+−′==++．2222aa（1）依题意有11()44104abb+=−−=，解得10ab=−=；（2）31()(1)xfxx−′=+，3264(1)(1)3(1)42()(1)(1)xxxxfxxx+−−⋅+−′′==++，令()0fx′′=，解得2x=．x(,2)−∞2(2,)+∞()fx′′+0−()fx∪拐点2(2,)9−∩由表可知：曲线在(,2)−∞是凹的，在(2,)+∞是凸的，拐点为2(2,)9−；（3）由于2lim()lim0(1)xxxfxx→∞→∞−==+，211lim()lim(1)xxxfxx→−→−−==∞+，所以曲线有一条水平渐近线0y=，一条垂直渐近线1x=−．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．证明：当01x时，(2)ln(1)2−−xxx．证明设()(2)ln(1)2fxxxx=−−−，2()ln(1)2ln(1)11xxfxxxxx−′=−−−=−+−−，2211()01(1)(1)xfxxxx−′′=+=−−−，因而当0x时，()(0)0fxf′′=，从而有()(0)0fxf=，即(2)ln(1)20xxx−−−，即有(2)ln(1)2−−xxx．24．设()=，zzxy是由方程22()+=−yzxfyz所确定的函数，其中f为可导函数，证明∂∂+=∂∂zzxzyxy．证明依题意有2zzfxzfxx∂∂′=−∂∂，1(22)zzxyzfyy∂∂′+=−∂∂，解得12zfxxzf∂=′∂+，2112zxyfyxzf′∂−=′∂+，于是有(21)2212121212zzxfzxyfxfxyzfzxfxyzfxfyxzyxyxzfxzfxzfxzf′′′∂∂−+−+−++=+===′′′′∂∂++++．