无穷等比数列各项的和

无穷等比数列各项的和：,q,a}a{1n公比为的首项为已知无穷等比数列,0,1qq｜若｜nnSlim则项的和公式为即无穷递缩等比数列各).(111qqaS,qa11qqann111)(lim)(limlimnnnqqa111.,qaSSnSnqn111表示，即：并用符号列各项的和的极限叫做无穷等比数时当项和的无穷等比数列的前把4310229011.)(.)(数：：化下列循环小数为分例29292902901..)(解：12010290010290010290290n).(.).(....0101290..992903104043102...)(0101031040...99042799031104903.)(.的取值范围求首项，的各项和为：已知无穷等比数列例142aan则公比为解：设无穷等比数列的,q411qaS.411aq01qq且又,04114111aa且4114111aa且,48011aa且).,(),(84401a.;;面积的和些正方形的周长的和与限继续下去，求所有这如此无个更小的正方形方形各边的中点得到一又连接这个小正正方形各边的中点得到一个小，连接这个正方形的边长等于：如图：正方形例2222111113DCBADCBAABCDABCD1A1B1C1D2A2B2C2D3A3B3C3D则解：设各边长构成数列,nanaaaaaa,,,22222211212121,121212222nnnaaa,2221nnaan时，即：qal141所有正方形的周长：.248221142211Sqa所有正方形的面积：.22111.,,,,,,,和求所有正方形的面积的若它们的边长依次为内有一系列的正方形，：如图，在例aBCaABaaaABCRtn2421ABC1a2aaa221211aaaaa解：.aa321211nnnaaa同理：)(2321naann;,,,,,949422232221公比为成等比，首项为aaaaan.225494194aaS面积和图3图图1是一个等边三角形M1，把M1的每条边三等分，把M2的每条边三等分，并以中间的那一条线段为边向外作等边三角形，再擦去中间的那一条线段，得M3,那一条线段为边向外作等边三角形，再擦去中间的那一条线段，得图2,记作M2;并以中间的把Mn-1的每条边三等分，并以中间的那一条线段为边向外作再擦去中间的那一条线段，得Mn(n=2,3,4,…)，等边三角形，.)(;)(;)(;)(;)(,,,))()((求周长和面积的极限所围成的面积求的周长求中每条边的长度求中的边数求中的图形依次记作将图，并分别的边长为：设图中的等边三角形例5432132115321nnnnnnnnAMLMTMNMMMM图3图条线段，在后一个图形中变成四每个图形中的一条线段解：)(1)(,24311nNNNnn).(*NnNnn143.)(;)(;)(;)(;)(,,,))()((求周长和面积的极限所围成的面积求的周长求中每条边的长度求中的边数求中的图形依次记作将图，并分别的边长为：设图中的等边三角形例5432132115321nnnnnnnnAMLMTMNMMMM图3图,)(312长的在后一个图形中变为原图形中的每条线段长度)(,231111nTTTnn).()(*NnTnn131nnnTNL周长)(3).()(*Nnn1343…Mn边数…………曲线所围面积…图3图124348412192448143nnN增加三角形的个数122143nnN增加的每个小三角形的面积91A219A319A11129nnAAT1A93112AAA2123912AAA3134948AAA1121943nnnnAAA边长Tn11TnN31311T31N223131T333131T131nnT)(348.)(;)(;)(;)(;)(,,,))()((求周长和面积的极限所围成的面积求的周长求中每条边的长度求中的边数求中的图形依次记作将图，并分别的边长为：设图中的等边三角形例5432132115321nnnnnnnnAMLMTMNMMMM图3图,)(4341A的小正方形，积为的每条边上多了一个面时，在生成当由___11nnnMMM_______,和为这些小正多边形面积之12ATn121ATNnn1211ATNAAnnnn11941633nnA)(11941633nnnAA)(1133422312941633941633941633941633nnnAAAAAAAA)()()(94194194163311])([nnAA1942033532nnA)(,)()(13435nnL由;lim不存在也随之无限增大，无限增大时，当nnnLLn])([limlim1942033532nnnnA532.lim)(;lim)()()()()(nnnnnnSannnna212006312200511112005求：：已知例])([limlim)(20053121nnnna解：.0200620052006112006120051312121122005)()()()(S)]([limlimnnnnSaaSS2007200620053113220062005.20061.limlim),(,*nnnnnnnaaNnaaaa存在，求如果满足：若数列例66211,limlimxaannnn1解：设6611nnnnnnaaaalimlim由61nnnnaalimlim6xx即：062xx舍）或(23xx)()(lim)(,,*nnnnnnaaaNnaaaa2111156513则中，：数列例.254.41.72.52.DCBA)()()()(lim1)(65432121naaaaaaaaan法解：2511256.41)()(lim)(,,*nnnnnnaaaNnaaaa2111156513则中，：数列例65555621111nnnnnnnaaaa）（法65,51nnnnnbbab则令)1(511nnbb115)1(1nnbb01nb.51nna.4151151)(lim21nnaaa故例4：如图,P1是一块半径为1的半圆形纸板,在P1的左下端剪去一个半径为的半圆得到图形P2,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径是前一个被剪掉半圆的半径)可得图形P3,P4,…,Pn,…,记纸板Pn的面积为Sn,则21.______limnnSP1P2P3解:设图形Pn被剪掉半圆的半径为rn,则,21,2111nnrrr且P1P2P3,21,2111nnrrr且解:设图形Pn被剪掉半圆的半径为rn,则,21nnr是等比数列，即被剪掉的半圆面积nnnAA,21234114limAnnA之和为：所有被剪掉的半圆面积.6321S纸板的剩余面积.,lim)(,的取值范围求若且项和为的前：已知数列例kSkkaSSnannnnnn1115,1111111kakaan时，解：)1()1(211nnnnnkakaSSan时，为常数，11kkaann.1111nnkkka.1111111nnnnkkkkkkkaS代入.21111limkkkSnn.,)lim(,),,的值求且若的两根（是方程的相邻两项：设数列例bcccabbxcxaaannnnnnn51006221121,,111111bbbaaaaaabaannnnnnnnnnn解：.,,,,,,,,,,264212531的等比数列均是公比为和baaaaaaaann,,,1,21122121nnnnbababaabaa)]()()()[(lim)(lim122433221221nnnnnaaaaaaaaccc)]()[(lim124322321nnnaaaaaaaa)11()111(322bababab5131bb21b.,)(,,)()(;,)()())(,)()(,)(,)(,)()(),()()(),(,,*请说出理由的最小值；若不存在，并求出的集合，求出恒成立？若存在，分别不等式，使得对任意正整数是否存在整数设项和的前求数列设的通项公式；（求数列满足函数：设对于任意实数例mMMmMnFmnMmnSnFSncnfngcNnngnfgfyxgyxgxfxfxgxfyxnnnn332211353023117),(31)1()1(nfnfnx，则取解：,2)()1(,1,ngngynx则取.31)(1,31)(1nnfnf的等比数列，首项为是公比为,1)0(31)1(,0ffx则取的等差数列，是公差为2)(ng.32)(,2)5()5()(,13)5(nngngngg即又,331)](2[)2(1nnnnfngc由错位相减法得:.314323491nnnnS.,)(,,3)()3(请说出理由的最小值；若不存在，并求出的集合，求出恒成立？若存在，分别不等式，使得对任意正整数是否存在整数设mMMmMnFmnMmnSnFn131432493)(nnnnSnF,031)1(3145231432)()1(1nnnnnnnFnF为增函数，)(nF,1)1()(minFnF.49)(lim49)(nFnFn且又.49)(1nF恒成立，时，且当MnFmMm)(491.3;3,0minmMZMMMZmmm且且na113amnmnaaa12lim()nnaaa122332(2006年湖南卷）数列{}满足:,且对于则A.B.C.D.2任意的正整数m,n都有A（2006年辽宁卷）2222464646()()...()575757lim545454()()...()656565nnnnn2222464646()()...()575757lim545454()()...()656565nnnnn)545454()656565()767676()545454(lim2222nnnnn4161[1()][1()]55771111511()()1()57577limliml