信号系统8.3-2006

西安邮电学院电子与信息工程系2004.2§8.3连续系统状态方程的解•时域法求解•拉普拉斯变换法求解X第2页时域方法……借助计算机变换域方法……简单由状态方程求系统函数X第3页1．矩阵指数的定义一．用时域法求解状态方程(一)矩阵指数!1!121e022kkkkkttktkttIAAAAA！tAeAkk式中为方阵,也是一个方阵tAekkAAIAAAAAAAtttttttteeeddeeee12.主要性质X第4页(二)用时域方法求解状态方程AtAtAtdeextxteftdtBAtAtAtextexteftAB1.求状态方程和输出方程xtxtftAB若已知x0并给定起始状态矢量对式(1)两边左乘，移项有tAe(1)化简，得[]AtAtdexteftdtBX第5页两边取积分，并考虑起始条件，有()dttextxefAA00B对上式两边左乘，并考虑到，可得tAeeeIAAtttttttxtexefdexeftAA0AA0B0B[]ttytxtftexetftAACDC0CBDδ为方程的一般解求输出方程[]AtAtdexteftdtBX第6页状态转移矩阵ttteA()()xttxtft0B()[()()]ytCtxCtDtft0B()[()()]*()fytCtBDtft()()()htCtBDtX第7页对于方阵A有如下特性：kk？如何求tAe.2凯莱-哈密顿定理（Cayley-Hamitontheorem）：kjbbbbkkj,112210AAAIA112210ekktccccAAAIA(2)(3)具体计算步骤：求矩阵A的特征值；将各特征值分别代入式（3），求系数c。X第8页第一种情况A的特征值各不相同，分别为，代入式(3)有k,,,21eee11221012122221011121211021kkkkktkktkktcccccccccccck(4)X第9页第二种情况若A的特征根具有m阶重根，则重根部分方程为1mkkmmmtmtmmkkttkktcmkkcmcmcmtckcctcccc1121111111211121111212110)!(!1-!2)!1(!!1eedd12eedde11111其他非重根部分与式(4)相同处理，两者联立解得要求的系数。(5)X第10页二．用拉普拉斯变换法求解状态方程方程xtxtfttytxtftdABdCDx0，起始条件方程两边取拉氏变换sXsxXsFsYsXsFs0ABCDsXsxFsIA0BXssxsFs11IA0IAB整理得X第11页矩阵，则，称为特征矩阵或预解记为将ssΦAI1XssxsFsYssxsFsΦ0ΦBCΦ0CΦBDxtLsxLsLFsytLsxLstLFs111111Φ0ΦBCΦ0CΦBD零入解零解因而时域表示式为可见，在计算过程中最关键的一步是求。sΦX第12页fYssFsCΦBDDBCΦHss若系统为零状态的，则则系统的转移函数矩阵为是第i个输出分量对第j个输入分量的转移函数。sHsHsHsHsHsHsHsHsHnmnnmm211222111211HsHij则，的拉氏反变换为，的拉氏反变换为设tstshHφΦxttxtftyttxtftφ0φBCφ0h零入解零解X第13页()()()()()()xtxtftxtxtft11122212010110()()()()()()xtftytxtftyt1112211100110试求状态转移矩阵和冲激响应矩阵h(t)。()t()ssIA1解：用变换法解状态方程的关键是求预解矩阵。根据方程的矩阵A，有例8.3-3如有一个LTI系统的状态方程和输出方程为:X第14页ssIAss101212010101其行列式和伴随矩阵分别为:det()()sIAss11sadjsIAs1201()()()detadjsIAsssssIAsIAs112111101所以预解矩阵:X第15页根据式(8.3-26)，转移函数矩阵:()()()()HsCsBDsssssssss1211101101111101101010011()()()tttteeetLTste10()()()()()tttteehtLTHstte10取和H(S)的逆变换，得状态转移矩阵和冲激响应矩阵:()sX第16页例8.3-5描述二阶连续系统的动态方程为:()()()xtxtft021120()()ytxt11()()HsCsBD解：要求微分方程，只需求的描述系统输入、输出关系的系统函数即可。由式(8.3-26)知求描述该系统输入、输出的微分方程。X第17页考虑到D＝0和()ssssIAssss112222112221()ssHssssss222211311221022()()()()()()()()ytytytftft211223可得于是，得该系统的微分方程为:X第18页最后，对系统的稳定性和频率响应作简要说明：在第七章中曾得结论：若系统函数H(S)的极点都在左半开平面，则系统是稳定的。在用状态变量法分析系统时，系统函数矩阵()()()HsCsBDCsIABD1X第19页由于:detadjsIAsIAsIA1()det()()det()CadjsIABDsIAHssIA所以X第20页()()|sjHjHsCjIABD1()()|sjHjHs当用状态变量分析时，可得出类似的结论：若系统函数H(S)在jw轴上收敛，则系统的频率响应矩阵在第五章曾指出，若系统函数H(S)在jw轴上收敛，则系统的频率应的根，它也就是特征根，判断特征根是不是在左半开平面可以用罗斯—霍尔维兹准则。det()sIA0所以H(S)的极点是