相似理论

2020/1/171相似理论模型－－原型它们之间的规律一、基本概念相似系数－－原型与模型中同一物理量的比值几何长度相似系数：集中力相似系数：mlLLC模型长度原型长度mPCPP模型集中力原型集中力2020/1/172取相似系数相似指标－－制约相似系数之间的关系相似判据（相似准则）－－将相似系数代入相似指标中，得到的一组无量纲组合数（它描述物理量之间的制约关系）如：原型：模型APmPCPP模型集中力原型集中力mmAPmmC模型应力原型应力mCAAA模型截面积原型截面积则有mAmPACPCAPCmmmAPAPCCCm2020/1/173代入相似系数相似指标－－制约相似系数之间的关系相似判据（相似准则）－－将相似系数代入相似指标中，得到的一组无量纲组合数（它描述物理量之间的制约关系）应当有：APmPCPPmmAPmmCmCAAA则有mmAPAPCCCm1CCAPC1CCAPmmmAAPPCmmAPAPm2020/1/174二、相似定理相似第一定理如果两现象相似，则相似指标为1相似第二定理（π定理）在互相相似的现象中，表示一现象各物理量之间的关系方程式，都可以转换成无量纲方程，无量纲方程的各项既是相似判据相似第二定理另一种描述P10如描述一现象的物理方程中有n个物理量，其中有k个独立物理量，则这方程可表示为由n－k个无量纲数群（用π1，···πn－k）表示。也就是由n－k个相似判据表示的方程。又叫π定理（第一、第二是相似必要条件）2020/1/175相似第三定理在物理方程相同的情况下，如两个现象的单值条件相似，即从单值条件下引出的相似判据若与现象本身的相似判据相同，则这两个现象一定相似（相似的充要条件）2020/1/176三、方程分析法确定相似条件3-1线弹性静力学问题列出全部基本方程1、三个平衡方程2、六个几何方程0xxzxyxzyx0yyzyyxzyx0zzzyzxzyxxuxyvyzwzxvyuxyywzvyzzuxwzx2020/1/1773、六个物理方程（应力－应变关系）4、六个边界条件应力位移xyxyxyGE1)1(2)]([1xzyyE)]([1zyxxE)]([1yxzzEyzyzyzGE1)1(2zxzxzxGE1)1(2nmlpxzxyxxnmlpyzyyxynmlpzzyzxz0uus0vvs0wws2020/1/178角标“‘”表示模型相应物理量有相似系数以上各量代入各原型表达式中，应当与模型相应方程相同，可得相似指标lCzzyyxx'''wCwwvvuuwwvvuu000000''''''C''C''pCpp'ECEE'Czzyyxx'''C'2020/1/179如平衡方程它应当和模型方程相同，故可得由几何方程0')''''''(xxzxyxlCzyxCC0')''''''(yyzyyxlCzyxCC0')''''''(zzzyzxlCzyxCC1CCCl'''xuCCClwx)''''('xvyuCCClwxy1CCClw2020/1/1710物理方程边界条件八个相似系数，泊松比要相同，还剩七个相似系数，受四个方程制约，可自由选三个)]''(''[1'zyxExCECCCxyExyECCCC'')'1(2'1CCCE1C)'''('nmlCpCxzxyxxp0''uCuCwsw1pCC2020/1/1711实际上，在弹性小变形条件下，应力与弹性模量E无关，只需满足：几何相似、载荷相似、边界条件相似和泊松比相同，并不需要同时满足虎克相似。这种静力相似称为广义相似还可以选四个，又因为模型材料选定后，就等于同时选定了：弹模E’和容重ρ’，还可以选几何和载荷（应力）相似系数1CCCl1CCClw1pCC1CCCCCCCCCEpwl2020/1/1712关于泊松比混凝土0.16-0.25钢0.3环氧树脂0.37有误差是必然的《水工建筑物光测应力分析》李伯芹编著1、平面应力误差小，平面应变误差大，三维状态误差更大2、最大主应力影响大，小主应力影响小3、误差范围：最小2～7％最大8～56％个别可达80％4、μ的差异一般无显著影响，应力较大的重要部位未出现重要影响1C2020/1/1713例题单向拉伸杆，按应力、变形来确定相似指标，杆长L，截面积A解：由材料力学有应力、变形关系：APmPCPPLLmCmCAAA则有mAmPACPCmC1CCAPCPP给定相似系数mmLmLLCCLCLmCLLLmCmCLLL1CLLCC2020/1/1714四、量纲分析法确定相似条件很多时候不知道确定的方程，此时则可以利用量纲分析获得相似判据还以线弹性静力学问题为例一点的应力的相关因素：1。位置x,y,z2。弹性体的几何尺寸l1,l2,….ln3。弹性体的物理性质E,μ4。弹性体所受的荷载集中力P1,P2,…..;线分布力q1,q2,…面分布力p1,p2,….体积力ρ1ρ2….5。弹性体的位移u1,u2,…v1,v2,…w1,w2,…6。弹性体各点的应变εx,εy,εz,γ,…2020/1/1715可以将应力与其它因素表示为一般关系式共有不同类的物理量11个：0...)...,...,...,...,...,...,...,,...,,...,,,,,,(1111111212121wvuqPEEllzyxf,,,,,,,,,,upqPElx相似第二定理P10如描述一现象的物理方程中有n个物理量，其中有k个独立物理量，则这方程可表示为由n－k个无量纲数群（用π1，···πn－k）表示。也就是由n－k个相似判据表示的方程。又叫π定理2020/1/1716基本物理量按国际单位制，共有七个基本单位，它们是量的名称单位名称单位符号量纲1、长度米m[L]2、质量千克kg[M]3、时间秒s[T]4、电流安(培)A5、热力学温度开（尔文）K6、物质的量摩（尔）mol7、发光强度坎（德拉）cd静力学只有两个基本量，即长度和质量，其它量都是导出量（其量纲由基本单位的量纲表示）2020/1/1717其它量的量纲集中力[MLT-2]面积[L2]体积[L3]力矩[ML2T-2]线分布力[MT-2]面分布力[ML-1T-2]容重[ML-2T-2]弹性模量[ML-1T-2]泊松比1应力[ML-1T-2]应变1位移[L]惯矩[L4]2020/1/1718量纲分析法中可以选择任意两个静态量为独立物理量设选取力P和长度l为独立物理量，则各无量纲数群（即相似判据）可以由其量纲指数为零的条件来求出如与应力σ的无量纲数群将各物理量的量纲代入，集中力[MLT-2]令各指数分别为零应力[ML-1T-2]长度[L]211lP)1(2)1(1221121121)(TLMLMLTML即有：011012111222020/1/1719即得第一个无量纲数为其它类似PllP2212020/1/1720关于变态模型不同方向的尺寸相差很大，若用相同的几何相似系数则模型几乎不可能造出如薄壁杆系结构如果你关心的量的表达式在不同方向的几何尺寸是独立的，则可以取不同的相似系数如：均布荷载与拉力的梁应力：变形：挠度：qxNWxlxqAN2)(2EANl)2(24433xlxxlEIqf2020/1/1721取相似系数以上各量代入各原型表达式中，应当与模型相应方程相同，可得相似指标lCllxx''hChhbb''2'hCAAC'ECEE'3'hCWW4'hCIIqCqq'C'fCff'qxN