1.1正弦定理和余弦定理

1.1正弦定理和余弦定理人民教育出版社A版必修5马登盛蒲世吉主要内容1.1.2余弦定理1.1.1正弦定理导入课题导入课题在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问：遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢?1671年，两个法国天文学家测出了地球与月球之间的距离大约为385400km.他们是怎样测出两者之间距离的呢？385400km在初中，我们已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的一些测量问题.在实际工作中我们还会遇到许多其他的测量问题，这些问题仅用锐角三角函数就不够了，如：在数学发展历史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动，解三角形的理论得到不断发展，并用于解决许多测量问题.1.怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？2.怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？3.怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？4.怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？实际问题举例这些问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识.本章中我们要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形以及解决实际测量中的一些问题.1.1.1正弦定理我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。我们是否能够得到这个边、角关系准确量化的表示呢？在ABC中，A、B、C所对的边分别为BC、AC、AB，它们的长分别为a、b、c，这节课我们研究A、B、C、a、b、c之间有怎样的数量关系？ABC直角三角形中:RtACB1sin,sin,sinCcbBcaAABCabcCccBbcAacsin,sin,sin即CcBbAasinsinsin斜三角形中这一关系式是否仍成立呢?CcBbsinsin首先，在锐角三角形ABC中，CD=asinBCD=bsinAasinB=bsinA得到BACD设边AB上的高是CD，根据三角函数定义同理，在ABC中BbAasinsin为外接圆半径RRCcBbAa2sinsinsin变式:AaCcCcBbBbAasinsin;sinsin;sinsin1cbaCBA::sin:sin:sin2当ABC是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗？是否可以用其他方法证明正弦定理？BACCcBbsinsin在钝角三角形ABC中，设角B为钝角，边AB上的高是CD，根据三角函数定义，CD=ACsinA=bsinACD=CBsinCBD=asin(1800-B)=asinBasinB=bsinA得到BACD同理BbAasinsin用外接圆法可证明正弦定理DCRDcCc2sinsinRAaRBb2sin2sin，同理：ABCDabcO如图:为外接圆半径即得：RRCcBbAa2sinsinsin设BD为外接圆直径，长为2RBAD=900正弦定理同样成立RAa2sin正弦定理与解三角形正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？从理论上,正弦定理可解决两类问题:1.两角和任意一边,求其他两边和另一角；2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其他的边和角.解：根据三角形内角和定理C=1800-A-B=1800-32.00-81.80=66.20例1.在ABC中，已知A=,B=,a=42.9cm,求解三角形.000.32sin8.81sin9.42sinsinABab00.32分析:这是一个已知两角和一边求另两边和一角的问题.根据正弦定理80.1(cm)根据正弦定理000.32sin2.66sin9.42sinsinACac74.1(cm)08.81已知在中,,求和30,45,10CAcba,BABC练习1ABC例2:已知在ABC中,a=20cm,b=28cm,A=400,求解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）.分析:这是一个已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题.根据正弦定理8999.02040sin28sinsin0aAbB解：因为00B1800,所以B640，或B11601)当B640时C=1800-(A+B)1800-(400+640)=760)(3040sin76sin20sinsin00cmACac2)当B1160)(1340sin24sin20sinsin00cmACacC=1800-(A+B)1800-(400+1160)=240已知在中,,求和CA,1,60,3cBbaABC分析:这是一个已知两边及一边的对角,求其他边和角的问题.练习2ABC若A为锐角时:锐角一解一锐、一钝二解直角一解无解babaAbAbaAbasinsinsin若A为直角或钝角时:锐角一解无解baba已知ABC中边长a、b和角A，求其它角和边.反思提高解的情况讨论1.若A为锐角1）a=bsinAAbaBCAB2baB1Ca2）bsinAab已知a，b和角A，求解三角形(只有一解）(有两解）AbaBC3）a≥b1.若A为锐角(只有一解）2.若A为直角或钝角(只有一解）baABCbaCBA(只有一解）1）ab2）ab小结1)已知两角一边;2)已知两边和其中一边的对角.P4练习1,2P10习题1.1A组1,2作业1.1.2余弦定理如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和另两个角的问题.已知三角形的两边的长BC=a,AC=b,边BC和边AC所夹的角是C，我们设法找出一个已知的边a、b和角C与第三条边c之间的一个关系式，或用已知的边a、b和角C表示第三边c的一个公式.ABC联系已经学过的知识和方法，我们从什么途径来解决这个问题？ABC问题：若ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求边c.CBACAB))((CBACCBACABABCBCBCBACACAC22)180cos(2220CBCCBACACAB解：Cabbaccos2222ABCcba余弦定理Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.用坐标法怎样证明余弦定理？还有其他方法吗？坐标法推导余弦定理解：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：)0,0(),0,(),sin,cos(CaBCbCbACabbaCbaCabCbCbaCbABcos2sincos2cos)0sin()cos(2222222222Cabbaccos2222yx变式acbcaB2cos222bcacbA2cos222abcbaC2cos222Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222特别地1.当C=900时，cosC=0,c2=a2+b22.当00C900时，cosC0,c2a2+b23.当900C1800时，cosC0,c2a2+b2利用余弦定理，可以解决以下问题：1).已知三边，求三个角；2).已知两边及夹角，求第三边和其他两个角.ABCabcc2=a2＋b2－2abcosC.a2＋b2－c22abcosC＝例1在ABC中，已知b＝60cm，c=34cm，A＝410，解三角形（角度精确到10，边长精确到1cm）.解：根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=602+342-26034cos4101676.82所以a41（cm)分析：已知两条边和其夹角A，先用余弦定理求出第三边，再求出其它角.aAcCsinsin由正弦定理得5440.041656.034因为cb,c不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利用计算器可得C330B=1800-（A+C）1800-（410+330）=1060例2在ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.解：所以A≈44°所以C≈36°,所以B＝180°－(A＋C)≈100°.因为cosA＝＝0.725，bcacb2222因为cosC＝＝0.8071，abcba2222练习在ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，求解三角形（角度精确到）’ABC'1||||2||||||cos222ACABBCACABA3652ABCOxy所以A≈84°.73)85()]2(6[||22AB85)18()42(||22BC52)15()46(||22AC解：因为例3：ABC三个顶点坐标为A(6，5)、B(-2，8)、C(4，1)，求角A.我们讨论的解三角形的问题可以分为几种类型？分别是怎样求解的？要求解三角形，是否必须已知三角形一边的长？ABC根据已知条件进行分类1.已知A、a和b,求解三角形(求角用正弦定理，求第三边可用余弦定理）2.已知A、B和a,求解三角形(正弦定理）3.已知三边a、b、c，求解三角形(余弦定理）4.已知A、b和c，求解三角形（余弦定理）角多用正弦，边多用余弦作业练习P8.1,2习题P10.3，4