数学建模-生物种群模型分析

2020/1/17生物种群模型2020/1/17简介种群(Population)：是指在特定时间里占据一定空间的同一物种的有机体集合。种群生态学：主要研究种群的时间动态及调节机理。种群分为单种群和多种群。生物种群模型2020/1/172)罗杰斯特(Logistic)模型)(00)()(ttretNtNNKNrdtdN)1(表示该种群的最大容纳量。K)()()(0001)(ttrtNtNKeKtN1单种群的数学模型：1)马尔萨斯(Malthus)模型rNdtdN表示时刻的种群数量，称为内禀增长率。Ntr2020/1/174)开发了的单种群模型hNNfdtdN)(具有常数收获率)()(thNNfdtdN具有时变收获率3）一般的种群模型)(NNfdtdN2020/1/172两种群的一般模型两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。设甲、乙两种群在时刻的数量为，则t)(),(tytx)()()()(222111ygxfrydtdyygxfrxdtdx)()(222120121110yaxaaydtdyyaxaaxdtdx线性化，得2020/1/17)()(222120121110yaxaaydtdyyaxaaxdtdx1)表示甲（乙）种群的自然生长率；2)表示甲（乙）种群为非密度制约，表示甲（乙）种群为密度制约；3)表示甲、乙种群相互竞争；4)表示甲、乙种群相互依存；5)表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。)(2010aa0,02211aa0,02211aa02112aa0,02112aa0,02112aa2020/1/173三种群的一般模型三种群相互之间的作用要比两种群更复杂，但建立模型的思想和方法是相同的。在三种群中每两个种群之间的关系仍可归结为：相互竞争、相互依存、弱肉强食。三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的数学模型。这些模型用方程组表示，或用图形表示。2020/1/17记三个种群分别为123并约定1）种群供食于种群表示为12122）种群为密度制约可表示为113）种群不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组成的系统）为生，114）种群与种群相互竞争：12125）种群与种群互惠共存：1212）2020/1/17如，设A，B，C三种群为捕食与被捕食关系，则三者关系有三种：两个食饵种群，一个捕食者种群。一个食饵种群，两个捕食者种群。捕食链。CBACBACBA2020/1/17下面对于食饵种群增长是线性密度制约，两种群间的影响都是线性的，建立其相互作用的数学模型（Volterra模型）（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C。设A，B，Ct时刻的密度分别为)(),(),(txtxtx321假设：C种群主要以A，B种群为食饵，A，B不存在时，C要逐渐绝灭，C不是密度制约的；A，B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互竞争。图示如下：2020/1/17CBA（）)()()(232131303332322212120223132121111011xaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdx3,2,1,0;3,2,1,,00iajiaiij2020/1/17（2）一个食饵种群A，两个捕食者种群B，C。ACB（）)()()(333232131303332322212120223132121011xaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaaxdtdx3,2,1,0;3,2,1,,00iajiaiij2020/1/17)()()(232131303332312120223132121111011xaxaaxdtdxxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxACB）3,2,1,0;3,2,1,,00iajiaiij2020/1/17)()()(333232303332322212120222121111011xaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaaxdtdxACB）））（3）捕食链：A是B的食饵，B是C的食饵。3,2,1,0;3,2,1,,00iajiaiij2020/1/17)()()(333232131303332322212120223132121111011xaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdx3,2,1,0;3,2,1,,00iajiaiijACB）））说明下列微分方程组的生态意义2020/1/17)()()(333232131303332322212120223132121111011xaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxACB）））3,2,1,0;3,2,1,,00iajiaiij2020/1/17)()()(333232131303332322212120223132121111011xaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxACB）））3,2,1,0;3,2,1,,00iajiaiij2020/1/17种群模型的求解方法：微分方程定性与稳定性理论数值方法2020/1/17平面自治系统)1(),(),(yxgdtdyyxfdtdx微分方程定性与稳定性理论2020/1/17假定方程组(1)的右端函数，在平面区域满足解的存在唯一的条件，则过相平面中任一点有唯一的轨线。),(),(yxgdtdyyxfdtdx),(),,(yxgyxfGttytxgytytxfxtytxl)),(),(()),(),((:))(),((相平面：所在的平面。yx,轨线：2020/1/17平衡点（Equilibrium）：使得的点为组(1)的平衡点，否则称为常点。),(00yx0),(),(002002yxgyxf即平衡点满足0),(0),(0000yxgyxf),(000yxP记为2020/1/17称平衡点是稳定的（stable）；否则是不稳定（unstable）的。稳定与不稳定：如果存在某个邻域，使系统（1）的解从这个邻域内的某一初值出发，满足))0(),0((yx))(),((tytx00)(lim,)(limytyxtxtt000(,)Pxy0P2020/1/17其中是常数。)2(dycxdtdybyaxdtdxdcba,,,平面线性微分方程组的平衡点分类系统（2）有唯一的平衡点（0，0）。记系数矩阵dcbaA0detA2020/1/17)3(0)(2qpdcbaDbcadqdap),(2422,1qpp记组(2)的系数矩阵构成的特征方程为：其中唯一的平衡点（0，0）的稳定性由特征根确定。方程组（2）解的一般形式为2020/1/17方程组（2）解的一般形式为ttttecececectytx212122211211)()(tttttecectecectytx111122211211)()(2020/1/17平衡点类型稳定性稳定结点(node)stable不稳定结点unstable鞍点(saddle)unstable稳定退化结点stable不稳定退化结点unstable稳定焦点(focus)stable不稳定焦点unstable中心(center)unstable21,021qp,qpqp4,0,02021qpqp4,0,022100q0210210,2,1i0,2,1i0,2,1iqpqp4,0,02qpqp4,0,02qpqp4,0,02qpqp4,0,02qpqp4,0,02bcadqdap),(2422,1qpp2020/1/17pqqp420q鞍点区qp42稳定结点区qp42不稳定结点区稳定焦点区不稳定焦点区奇点的性态与的关系,qp)0,0(2020/1/17简单非线性微分方程的奇点)1(),(),(yxgdtdyyxfdtdx),())(,())(,(),(),(),())(,())(,(),(),(0000000000000000yxYyyyxgxxyxgyxgyxgyxXyyyxfxxyxfyxfyxfyxyx0101,yyyxxx2020/1/17),(),(),(),(),(),(111001001111001001yxYyyxgxyxgdtdyyxXyyxfxyxfdtdxyxyx称下列方程组为组(1)的一次（线性）近似方程组：10010011001001),(),(),(),(yyxgxyxgdtdyyyxfxyxfdtdxyxyx2020/1/17结论1如果则(4)的一次近似方程组的奇点在五种一般情形与组（4）的奇点的性态相同。)4(),(),(yxYdycxdtdyyxXbyaxdtdx)0,0()0,0()5(0),(lim),(lim22002200yxyxYyxyxXyxyx2020/1/17结论2设系统),(),(yxYdycxdtdyyxXbyaxdtdx),(),,(yxYyxXO(0,0)为其对应线性系统的中心点，若在O的邻域内存在此系统的一个连续的首次积分，则O必为中心。在O(0,0)点的邻域内解析。2020/1/17捕食与被捕食模型问题的提出20世纪20年代，意大利生物学家U.D’Ancona在研究鱼类变化规律时，无意中发现了第一次世界大战期间，意大利Finme港收购站的软骨掠肉鱼（鲨鱼等以其他鱼为食的鱼）在鱼类收购量中的所占比例的资料：191419151916191719181919192019211922192311.99%21.4%22.1%21.2%36.4%27.3%16.0%15.0%14.8%10.7%1914,7----1918,112020/1/17战争期间鲨鱼比例明显增加！显然，捕获的各种鱼的比例基本上代表了地中海渔场中各种鱼的比例。战争中捕获量大幅下降，应该使渔场中食用鱼和以此为生的鲨鱼数量同时增加。然而，捕获量的下降为什么会使鲨鱼的比例增加？发现D’Ancona的迷惑：2020/1/17请教著名的意大利数学家Volterra。将鱼分为两类，一类为捕食(predator)种群，另一类为被捕食(prey)种群。设t时刻两种群的数量（或密度）为y(t)，x(t)。在无捕捞和忽略了密度制约的情形下，有：)()(cxdydtdybyaxdtdx2020/1/17)()(cxdydtdybyaxdtdx平衡点为),(,)0,0(bacdMOyyxgxyxgdtdyyyxfxyxfdtdxyxyx),(),(),(),(00000000ycxdxcydtdyybxxbyadtdx)()(0000一次近似系统2020/1/17dydtdyaxdtdx)0,0(O一次近似系统)0,0(O系统的鞍点。xbcadtdy