江苏省高数专转本冲刺班数学习题训练12至20讲

第十二讲：空间解析几何的训练题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1．平面20xkyz与平面210xyz相互垂直，则K=（C）A．1B．2C．-1D．-2解：11,,1nk，22,1,1n12nn，1,,12,1,1k=0210k1k2．过ox轴和点(1,2,3)M的平面方程是（B）A．10xB．320yzC．3260yzD．230yz解：∵过ox轴0,0AD:0yCz又22303BCcB即320yz3．过点(1,3,1)且与直线230251xyzxyz平行的直线方程是（D）A．1311197xyzB．131975xyzC．1311197xyzD．1311175xyz解：21311,7,5125ijks1311175xyz4．空间直线112311xyz与平面230xyz的位置关系是（B）A．相互垂直B．相互平行，但直线不在平面上C．既不平行，也不垂直D．直线在平面上解：（1）321sin0116snsn故0或，即L(2)L上点(1,1,2)代入:12230,直线不在平面上5．方程2220xyz表示的二次曲线是（B）A．球面B．旋转抛物线C．圆锥面D．圆柱面解：这是yoz面上，抛物线2zy绕Z轴旋转的旋转抛物面222zxy即22zxy6．在空间直角坐标系中，方程组222zxyz代表的图形是（A）A．圆B．圆柱面C．抛物线D．直线解：这是旋转抛物面22zxy与平行于xoy面的平面2z的交线是一个圆二、填空题（每小题4分，共24分）7．平面32660xyz的截距式方程是解：3261666xyz即123xyz8．直线12110xyz与直线101xyz的夹角是解：1,1,01,0,11cos2221arccos239．已知两平面12:2350:60xayzbxyz相互平行，则a，b解：23218,613aabb10．过点2,3,4且垂直与平面310xyz的直线方程为解：3,1,1s点(2,3,4)234311xyz10．平面30xyz与平面22230xyz之间的距离d=解：2122233322111DDdABC12．在空间直角坐标系中，方程22(2)0xy表示的曲面是解：22(2)020,xyxy20xy.两个相交平面三、计算题（每小题8分，共64分）13．求过点02,9,6M且与连接坐标原点及0M的线段0oM垂直的平面方程解：（1）2,9,6OM法向量2,9,6n（2）平面的点法式方程点(2,9,6)oM，法向量2,9,6n2(2)9(9)6(6)0xyz即2961210xyz14．过点(1,0,2)A和(1,2,2)B且与向量2,2,2a平行的平面方程解：（1）,nABna依叉乘的定义知naAB且0,2,4AB故2224,8,4024ijkn取1,2,1n（2）点法式平面方程：(1)2(0)20xyz即210xyz15．求过点(1,1,1)A且垂直于平面7xyz和321250xyZ的平面方程解：（1）1,1,1,3,2,12nn11110,15,53212ijkn取2,3,1n（2）点法式平面方程2(1)3(1)10xyz即2360xyz16．求通过点(1,2,0)A且平行于直线1:L210250xyzxyz的直线方程解：1,1,2,1,2,1ss112121ijks122111,,2111123,1,1（2）所求直线方程120311xyz17．化直线方程23503240xyzxyz为标准式直线方程解：（1）求s,2315,7,11312ijks（2）求直线上一个点0M令0y，2503240xzxz　①②①2+②得x=2代入①得z=12,0,1OM（3）标准式直线方程2015711xyz18．确定直线：34273xyz和平面4223xyz的位置关系解：（1）设为直线和平面的交角8146sin06224snsn0故L（2）直线上点(3,4,0)代入平面方程128043故直线不在平面上19．指出下列曲面那些是旋转曲面？如果是旋转曲面，说明他是如何产生的？（1）222231xyz（2）22214yxz（3）222191825xyz（4）22221xyz解：01若222,,xyz中有两个系数相同时，则为旋转曲面在（2）中2x，2z系数相同故选22214yxz02xoy上双曲线2214yx绕y轴旋转222214yxz即旋转双曲面22214yxz20．指出下列各方程在平面解析几何和空间解析几何分别表示什么图形？（1）22(1)4xy（2）22149xy（3）1yx解：（1）在平面解析几何表示：圆；在空间解析几何表示：圆柱面（2）在平面解析几何表示：双曲线；在空间解析几何表示：双曲柱面（3）在平面解析几何表示：一条直线；在空间解析几何表示：平面四、证明题（本题8分）21．证明两平面1122:0:0AxByCzDAxByCzD之间的距离d：21222DDdABC证：（1）在平面1取一点1111(,,)Mxyz（2）利用点0000(,,)Mxyz到平面:0AxByCzD的距离公式0001222AxByCzDdABC（3）点1111(,,)Mxyz到2:20AxByCzD的距离111221222222AxByCzDDDdABCABC五、综合题（每题10分，共30分）22．设一平面通过Z轴，且与平面：2570xyz的夹角为3，求此平面方程解：（1）平面过z轴:0AxBy（2）12,,,2,1,5nABOn1212cos3nnnn即2212210ABAB22210()4(2)ABAB2222101016164ABAABB223830AABB解得3BA或3AB（3）所求平面的方程30xy或30xy23．求过点（1，2，1）且与120:0xyzLxyz和2210:10xyzLxyz平行的平面方程解：（1）1211111ijks111221,,1111110,1,1（2）2121111ijks211112,,1111111,2,3（3）12,nsns011123ijkn011123ijkn111001,,2331121,1,1（4）点法式平面方程121111xyz24．设直线45:226xyzLAB问A，B取何值时，才能使直线L同时平行于平面322xyzo和平面23xyzo解：（1）已知L的方向向量2,2,6sAB（2）设13220230xyzLxyz1322123ijks222332,,233112=2,11,8（3）11||||LLss故有2262118AB从而解得1850,1111AB第十三讲：多元函数的偏导数与全微分的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1．设2(,)fxyxyxyy则(,)fxy=（A）A．()2xxyB．2xyyC．()2xxyD．2xxy解：(,)()fxyxyxyy1()()()2xyxyxy(,)()2xfxyxy2．221coslim1xxyoeyxy=（D）A．0B．1C．1eD．2e解：22cos(,)1xeyfxyxy在点（1，0）连续'221coscos0lim11102xxyoeyeexy3．设(,)fxy在点00(,)xy处有偏导数存在，则0000(2,)(,)limhofxhyfxhyh=（D）A．0B．'00(,)xfxyC．'002(,)xfxyD．'003(,)xfxy解：原式=0000(2,)(,)lim22hofxhyfxyh0000(,)(,)limhofxhyfxyh='''0000002(,)(,)3(,)xxxfxyfxyfxy4．(,)zfxy偏导数存在是(,)zfxy可微的（B）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．无关条件解：若(,)zfxy可微，则,zzxy存在，反之成立，故偏导数存在是可微必要条件5．函数xyze在点（1，1）的全微dz=（C）A．2()edxdyB．()xyedxdyC．()edxdyD．dxdy解：()xydzeydxxdy在（1，1）'()dzedxdy6．已知22(,)()xyxyyx且(,1)zxx，则zx=（A）A．212xyxB．22xyC．21xxD．212xyx解：（1）2(,1)1()zxxxx2()1xxx（2）222(,)1zxyxyyxx（3）212zxyxx二、填空题（每小题4分，共24分）7．2222221(0)zRxyrRxyr的定义域是解：22222200Rxyxyr定义域2222(,)RDxyrxy8．设(,)(1)arcsinxfxyxyy则'(,1)xfx=解：（1）(,1)0fxx（2）''(,1)()1xfxx9．设ln(1)xzy则(1,2)dz=解：(1,2)(1,2)111zxxyy(1,2)113yx(1,2)(1,2)1()6zxyyxy(1,2)1136dzdxdy10．设66()zfxy，()fu可微，则zy=解：'6666'()()yzfxyxyy'6655'66((6)6()fxyyyfxy11．32uxy在点（1，1）处，当0.02x，0.01y时的全微分是解：(1,1)32duxy当0.02,0.01xy时，其微分=30.0220.010.0412．设(,,)ufxxyxyz，f可微，则ux=解：'''1231uffyfyzx'''123fyfyzf三、计算题（每小题8分，共64分）13．已知2(34)zxyfxy，若0y时，2zx求zx，zy解：（1）2(3)xxfx211(3)3393fxxx故有211()93fxxx（2）21423493zxyxyxy2101(34)39yxy（3）2108(34),(34)339zzxyxyxy14．求2(1)arctanyyzxexx在点（1，0）处的一阶偏导数，全微分解：（1）2(,0)(,0)2zxzxxxx故有(1,0)2zx（2）(1