传感器误差分析

上节主要内容典型的检测仪表控制系统及工业检测仪表控制系统的一般结构检测和仪表中常用的基本性能指标测量范围、上下限、量程；零点迁移和量程迁移；灵敏度和分辨率；误差；精确度；滞环、死区和回差，重复性和再现性检测仪表技术发展趋势2误差分析基础及测量不确定度2.1检测精度精度是相对而言的，被测量对象不同，则精度要求不同。测量精度可以用误差来表示。测量精度越高误差越小；精度越低误差越大。精度高的仪器其使用条件苛刻，维护费用大，实际使用时应适当选择测量精度。2.2.1真值、测量值与误差的关系测量值与其频率密度进行n次测量，横坐标为测量值，纵坐标为测得其测量值的频率误差x：测量值M偏离真值A0的程度0xMA0AA测量值的算术平均值为则有限次测量中，测量值的平均值与真值之间的偏差0limnAA当n无穷大时1iAMn2.2.2几种误差的定义残差：各测量值Mi与平均值A的差,iivMA22201111nniiiiMAxnn2011niiMAn协方差与相关系数：两组测量值xik和xjk的平均值分别为Ai和Aj方差：标准误差(标准偏差)：方差的均方根值，表示Mi偏离A0的程度0iv2.2.2几种误差的定义协方差被定义为211ijnXXikijkjkXAXAn2,ijijXXijXXrXX相关系数是标准化的协方差2.2.3测量的准确度与精密度测量的准确度与精密度精密度：测量值之间差异小的测量为精密测量，衡量指标为方差准确度：无数次测量得到的平均值与真值之间的偏差大小。即衡量指标为误差（a）（b）（c）2.2.3测量的准确度与精密度2.3误差原因分析①被检测物理模型的前提条件属理想条件，与实际检测条件有出入；②测量器件的材料性能或制作方法不佳使检测特性随时间而发生劣化；③电气、空气压、油压等动力源的噪声及容量的影响；④检测线路接头之间存在接触电势或接触电阻；⑤检测系统的惯性即迟延传递特性不符合检测的目的要求，因此要同时考虑系统静态特性和动态特性；2.3误差原因分析⑥检测环境的影响，包括温度、湿度、气压、振动、辐射等；⑦不同采样所得测量值的差异造成的误差；⑧人为的疏忽造成误读，包括个人读表偏差，知识和经验的深浅，体力及精神状态等因素；⑨测量器件进入被测对象，破坏了所要测量的原有状态；⑩被测对象本身变动大，易受外界干扰以致测量值不稳定等。按照误差的特点和性质，误差可分为系统误差、粗大误差、随机误差。一、系统误差：1.定义：相同条件下多次测量同一量时，误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化。2.产生的原因：它是由测量工具或仪器本身或对仪器使用不当而造成的。3.消除方法：查明原因可以消除；对测量值进行修正；改善测量条件；改进测量方法等。2.4误差分类二、粗大误差1.定义：相同条件下多次重复测量同一量时，明显偏离了结果的误差。2.产生的原因：疏忽大意或不正确的观测、测量条件的突然变化、仪器故障等。3.消除：测量中应避免这类误差的出现。含有粗大误差的测量值称为坏值。可用统计方法或遵循一些准则判断某一测量值是否为坏值，并剔除。2.4误差分类三、随机误差1.定义：由随机因素引发，一般无法排除并难以校正的误差。2.产生的原因：是由测量过程中互相独立的、微小的偶然因素引起的。3.消除：不能消除，也不能修正，值是随机的。4.特点：多次重复测量时，总体服从统计规律，故可以了解它的分布特性，并能对其大小和测量结果的可靠性作出估计，是误差理论的依据。2.4误差分类三种误差可以互相转化。如尺子的分划误差，在制造尺子时为随机误差，因为可长可短，无规律，但用它测量时，该误差使测量结果始终大些或小些，变成为系统误差。还可根据误差产生的原因将其分成设备误差、人员误差、环境误差、方法误差及测量对象变化的误差等。正确的测量不会包含有粗大误差，系统误差又可以消除，因此误差分析只是随机误差的分析。四、三类误差之间的关系2.4误差分类主要内容：–随机误差函数性质及其表达法–误差的传递–真值和方差的估计2.5误差分析的统计处理2.5.1随机误差概率及概率密度函数误差函数的有关符号：yfxpxfxdx–2）概率元：误差为x的概率–1）误差x发生的概率密度：2.5.1随机误差概率及概率密度函数误差函数的有关符号：bapaxbfxdx1pxfxdx–3）误差在a与b之间的概率–4）检测值存在误差的概率为12.5.1随机误差概率密度函数的性质测量次数增多，统计误差频率后，可发现随机误差的性质–1）对称性：大小相同符号相反的误差发生的概率相同–2）抵偿性：由对称性可知，当测量次数趋于无穷大时，全体误差的代数和为零，即–3）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差发生的概率大–4）有界性：绝对值非常大的误差基本不发生1lim0ninix2.5.1随机误差概率密度函数的性质具有上述特性的随机误差的概率密度分布曲线f(x)则应该满足如下各条件：–1）对于所有的误差x，都有f(x)0；–2）f(x)为偶函数，正负对称分布；–3）x=0时f(x)取最大值；–4）随x0，f(x)单调减小；–5）f(x)曲线在误差x较小时呈上凸，在x较大时呈下凸图示为正态分布函数，表达式为2.5.2正态分布函数及其特征点22212xyfxe误差法则从检测的角度看，正态分布常用N(A0,σ2)表示。A0和σ分别为测量的真值和标准误差。设测量值M作为随机变量，它服从正态分布，则有：),(21)(202220ANeMfAM0AMt)1,0(21)(22Netft实际数据分析中，常把N(A0,σ2)变成标准正态分布N(0,1)处理。只需令使分布密度函数变为：2.5.2正态分布函数及其特征dxxfx)(2222)(dxxfx算术平均误差：误差绝对值的平均值。标准误差（标准偏差）：σ是方差σ2的平方根，它表示随机误差相对于中心位置的离散程度。2.5.2正态分布函数及其特征最大值拐点6745.05.0)(dxxf概率(或然)误差：随机误差落在该范围内外的概率相等。极限误差：随机误差以给定概率（通常较大）落在极限误差的范围内。极限误差通常为标准误差的2倍或3倍。2.5.2正态分布函数及其特征•置信区间：定义为随机变量的取值范围，用正态分布的标准误差σ的倍数来表示，即±zσ，z叫置信系数。•置信概率：随机变量在置信区间±zσ内取值的概率。dxezxpzzx022222置信度：把置信区间和置信概率结合起来称之为置信度，即可信程度。说明测量结果的可信度。置信水平：表示随机变量在置信区间以外取值的概率。zxpzz12.5.3置信区间与置信概率置信概率P置信区间22x)(xf★置信区间、置信概率和置信水平之间的关系如图所示。置信水平越高，置信概率越小，误差范围越小，测量的精度要求越高，测量的可靠性越低。实际测量中，置信概率95%可靠性就可以了。问题描述：当间接检测量Y与相互独立的直接检测量X1,X2,…有如下的函数关系：21222y并且X1,X2,…的标准方差分别为，，…时，如何求Y的标准方差？求解过程由简单到一般分成了三种情况：21XXY2221Y1、简易情况：2.6.1误差传递法则12(,,)YXX2、任意线性结合的情况：KXaXaXaYnn22112222222121nnYaaa3、一般情况：假设Y与n个独立测量的量有函数关系。该式被称为误差传递法则。注意：尽管在间接检测函数中有差的结合方式，但求标准误差的公式中方差均为和的形式。2.6.1误差传递法则nnnnnnnAnA所以：222222222122111例1：一组测量值的算术平均值为，测量值之间相互独立，测量的标准误差同为时，求其平均值的标准误差。nMMMAn/)(21解：根据误差传递公式：根据上式可知平均值的标准误差为。这意味着多次测量时，取其平均值作为测量结果时，误差相对变小，可提高测量精度倍。nn2.6.1误差传递法则例2：用弓高弦长法间接测量圆的大直径D，如图。已知s和d，利用公式计算出D。求直径的标准误差σD。S=500mm,σs=0.05mm，d=50mm,σd=0.1mm，ddsD42Dsd55025002dssD解：241504500142222dsdDmmdDsDdsD41.21.02405.05222222222.6.1误差传递法则mmnnnppp::::::2121若各种检测方法精度相同，但测量次数不同，可得：权重——权重衡量测量结果可靠程度。2）加权平均思考题：根据误差传递法则，加权平均值的标准偏差？2.6.2不等精度测量的加权及其误差1）权重的大小：权重的大小是相对的，一般用方差的倒数的比值表示。若m组测量数据各自的方差分别为则22221,...,,m22221211::1:1:::mmppp解：4:9:3691:41:111:1:1::232221321ppp取p1=36,p2=9,p3=435.14936439236105.13494249914936222222232222212'i3i2i1ppppppX例：已知3,3;2,2;1,1332211XXX求加权平均值和加权标准偏差。2.6.2不等精度测量的加权及其误差2.7误差估计20~,/ANAn1iAMn01iEAEMAn22221Ann每个测量结果服从正态分布时iM20,NA平均值A2.7.1平均值的误差表示法2.7.2真值与标准误差的无偏估计数据平均值为真值A0的无偏估计：01iEAEMAn22220iiiSvMAxnAA21ESn21SEn2ˆ1Sn①残差的平方和标准误差的无偏估计：②求期望2ˆ1ivn③方差的无偏估计④无偏标准误差2.7.2真值与标准偏差的无偏估计数据平均值方差的无偏估计：数据平均值标准偏差的无偏估计2ˆ(1)ASnnˆ(1)ASnn2.7.3测量次数少的误差估计误差分布为正态分布，测量次数足够多的情况下，可以采用前面的误差估计方法。当测量次数不多时，应该用t分布等进行估计。2.8粗大误差检验检验方法：1)简单检验方法：先将可疑值除外，计算其余数据的平均值及平均残差，计算可疑值与的残差v，如果则剔除。X||ivnX||4vX/nv检验原则：设置一定的置信概率，看这个可疑值的误差是否还在置信区间内，即剔除那些概率很低的粗大误差。2)格罗布斯（Grubbs）检验方法：先算出包括可疑值在内的这组数据的平均值及其标准残差，若，则剔除。标准偏差。值和除，求剔除前后的平均是否应该剔除。若要剔，试判断可疑值，，，，，，例：有一组测量数据2010209733217.561097332X解：3617.51017.5917.5717.5317.5317.521nvi12483.1417.52020Xv487.312nvi此时故此可疑值应该剔除。281.6129.72nvXi，剔除前：