粘性流体力学基本方程组分析

粘性流体力学基本方程组一、从牛顿第二定理出发，推导粘性流体力学动量方程二、引入本构方程的必要性三、本构方程的推导四、粘性流体力学基本方程组(N-S方程)1）矢量场的几个概念随体导数梯度、散度a)流体的加速度在时刻t+dt，A点的流速变为，而点的流速则变为：在时刻t，某一液体质点通过渐变段上的A点，经过时间dt该液体质点运动到新的位置。在时刻t，A点流速为，点的流速为。AxuAxxuuxxdttuuxxdAttuxxuutxxuutxxuuxxxxxxxddd)d()d(5流体的加速度因此该液体质点通过A点时的加速度应为被称为时变（或当地）加速度，代表某定点流速随时间的变化率；被称为位变（或位移）加速度，代表同一时刻流速随位置的变化率。可见，液体质点在空间某定点上的加速度是时变加速度与位变加速度之和。xuutututxxututtuxxuuaxxxxxxxxxxddd)dd(tuxxuuxx6流体的加速度zuuyuuxuututzzutyyutxxututuaxzxyxxxxxxxxxddddddddzuuyuuxuututuayzyyyxyyyddzuuyuuxuututuazzzyzxzzzdd根据加速度的定义，tuatuatuazzyyxxdd,dd,dd利用连续复合函数的微分法则，有：),,,(zyxtuxb)随体导数由此可知一个液体质点在空间点上的全加速度应为时变加速度和位变加速度之和。zuyuxuttzyxddzpuypuxputptpzyxdd对于描述液体物理性质和运动特性的其他物理量，如密度与压强p，可采用同样的方法得出：c)梯度标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率梯度的运算对象是标量，运算结果是矢量考虑一座高度在（x,y）点是H（x,y）的山。在一点的梯度是在该点坡度（或者说斜度）最陡的方向。梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。这座山的每一个点上都算出一个梯度向量,这个向量会指向每个点最陡的那个方向,而向量的大小则代表了这个最陡的方向到底有多陡gradkzjyixgrad在直角坐标系中：9d)散度a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。b.表达式：0limSVFdsdivFVc.散度的计算：在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。矢量场表示为：F1Szyx6S5S4S3S2S123123SSSSFdsFdsFdsFds456456SSSFdsFdsFdskFjFiFFzyx直角坐标系中：yxzFFFFxyzdivFF散度的物理意义考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域),在这个点上,矢量场的发散程度如果是正的,代表这些向量场是往外散出的；如果是负的,代表这些向量场是往内集中的.运算的对像是矢量,运算出来的结果是标量流体力学中，速度场散度指流体运动时单位体积的改变率直角坐标系中：yxzFFFFxyzdivFF112）流体力学基本方程组微元体及其表面的质量通量微元体内的质量变化量输入微元体的质量流量质量守恒直角坐标系中的连续性方程－输出微元体的质量流量＝yxzdzdxdyxvdydzxxvvdxdydzx13a)连续性方程故dt时段内在x方向流入与流出六面体的液体质量差为：因此在dt时段内流进与流出六面体液体质量的总变化为：tzyxzuyuxuzyxdddd同理可得出dt时段内在y,z方向流入与流出六面体的液体质量差分别为：tzyxxuxddddtzyxzutzyxyuzydddd,dddd连续性方程经过dt时段六面体内因密度变化所引起的质量总变化为：在同一时段内，流进与流出六面体总的液体质量的差值应与六面体内因密度变化所引起的总的质量变化相等，即tzyxtzyxzyxttddddddddd)dd(tzyxzuyuxutzyxtzyxdddddddd上式即为流体的连续性微分方程。0zuyuxutzyx整理后，有：连续性方程的物理意义与适用范围0zuyuxutzyx0zuzuyuyuxuxutzzyyxx0zuyuxuzuyuxutzyxzyx01vdivdtd相对密度变化率等于负的相对体积变化率适用范围：恒定流或非恒定流；理想液体或实际液体；可压或不可压流16对不可压缩液体，常数，因此连续性微分方程简化为：或写作divu=0，式中divu叫速度散量，为标量。0zuyuxuzyx上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程之一。任何流体的连续运动均必须满足。b)理想流体的运动方程在理想液体中任取一微分平行六面体，边长分别为dx,dy,dz。其形心点A的动水压强为p，速度为ux,uy,uz。作用于六面体的力有表面力与质量力，表面力只有动水压力。作用在左边表面的总动水压力为：zyxxppdd)2d(作用在右边表面的总动水压力为：zyxxppdd)2d(各坐标轴方向的单位质量力以fx,fy,fz计，则作用于六面体上的质量力在x方向的分力为。根据牛顿第二定律，所有作用于六面体上的力在x方向的分力的代数和等于六面体的质量与加速度在x方向投影之积，即：化简，有：同理可得：tuzyxzyxxppzyxxppzyxfxxddddddd2ddd2ddddtuxpfxxdd1，tuypfyydd1tuzpfzzdd1zyxfxddd此即理想液体的运动微分方程——欧拉方程，其既适用于可压缩流体，也适用于不可压缩流体，既适用于恒定流，也适用于非恒定流。对静止液体，，故有：即为静止液体的欧拉平衡微分方程。01,01,01zpfypfxpfzyx0zyxuuu若gfffzyx,0,0则gzpypxp,0,0ghp则从流体运动微分方程推倒出静水压强公式37改写理想液体的运动微分方程，有：zuuyuuxuutuzpfzuuyuuxuutuypfzuuyuuxuutuxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx111上述方程中有未知量4个，分别为：p,ux,uy,uz。运动微分方程与连续性微分方程联立，可以构成封闭系统。c)粘性流体运动方程粘性流体应力状态粘性流体应力状态表面力pz可分解为沿作用面内法线方向的正应力pzz和与作用面成切向的两个切应力。zyzx,正应力以p记，而切应力以记。切应力的第一个脚号表示切应力所作用的方向与该脚号代表的坐标轴垂直；第二个脚号表示切应力作用方向与该脚号代表的坐标轴平行。xxpyypzzpxxpyypzzpy从分析微分六面体在x轴方向的受力情况入手：左、右面在x方向的表面力为：zyxxppzypxxxxxxdd)d(,dd前、后面在x方向的表面力为：zxyyzxyxyxyxdd)d(,dd上、下面在x方向的表面力为：yxzzyxzxzxzxdd)d(,dd质量力在x方向的分力为：zyxfxdddyz根据牛顿第二定律，在x方向有：tuzyxyxzzyxzxyyzxzyxxppzypzyxfxzxzxzxyxyxyxxxxxxxxddddddddddddddddddddddd整理后，有：tuzyxpfxzxyxxxxdd11同理可得：tuzxypfyzyxyyyydd11tuyxzpfzyzxzzzzdd11即为以应力表示的实际液体运动微分方程。3)流体微团的运动形式与速度分解定理30某时刻在流场中取微团，令其中—点为基点，速度。在点的邻域任取一点，M点的速度以点的速度用泰勒(TayLor.G)级数前两项表示：为显示出移动、旋转和变形运动，对以上各式加减相同项，做恒等变换t),,(zyxO),,(zyxuuodzzudyyudxxuuuxxxxMxdzzudyyudxxuuuyyyyMydzzudyyudxxuuuzzzzMz）dzxudyxuzy2121dxyudzyuzz2121dyzudxzuyx2121令是微团运动速度的分解式，下面对式中各项的分析显示，液体微团运动的速度分解为移动、变形(包括线变形和角变形)和旋转几种运动速度的组合，这就是流体的速度分解定理。xuxxxxzuyuyzzyyz21yuxuxuzuzuyuxyzzxyyzx212121xuzuzxxzzx21yuyyyyuxuxyyxxy21zuzzz)()()()()()(dxwdywdydxdzuudzwdxwdxdzdyuudywdzwdzdydxuuyxzyzxzzzMzxxyxyzyyyMyzyxzxyxxxMx以矩形平面为例，来说明微分平行六面体的运动情况。矩形平面的运动形式有：平移（右图a）线变形（右图b）角变形（右图c）旋转（右图d）38平行六面体的整个变化过程可看作是由下列几种基本运动形式所组成：1.位置平移2.线变形3.边线偏转：(1)角变形(2)旋转运动1.位置平移用位移速度度量。微分六面体在x,y,z方向的位移速度分别是ux,uy,uz。2.线变形用线变形速率度量。微分六面体在x,y,z方向的线变形速率分别为：zutztzzuzyutytyyuyxutxtxxuxzzyyxxdddddddddddd方向方向同理；方向同理zuttzutzzuztzzuxxzxdddddddddtandxutzdd3.边线偏转与x轴平行边线PQ逆时针方向的偏转角度为；与z轴平行边线PS顺时针方向的偏转角度为。dd边线偏转可分解为直角纯变形和整体旋转两种运动形式。(1)角变形用直角边的变形角速度来度量。由于直角的两条边线的偏转角相等，故有yuxuzuyuxyzyzx21212dddd2dd2ddddd直角