7.3偏导数与全微分

返回上页下页目录2020年1月18日星期六1第三节偏导数与全微分第七章一、偏导数二、全微分三、高阶偏导数返回上页下页目录2020年1月18日星期六2一、偏导数1.偏导数的定义定义7.4设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义,将y固定为y0,给x0以改变量△x,于是函数有相应改变量△xz=f(x0+△x,y0)－f(x0,y0)△xz称为函数z=f(x,y)对x的偏增量(或偏改变量).若极限000000(,)(,)limlim(7.15)xxxzfxxyfxyxx返回上页下页目录2020年1月18日星期六3存在,则称此极限值为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处对x的偏导数,记作或00(,),xfxy00(,),fxyx00(,)|,xxyz'00(,)|xyzx完全类似地,可以定义函数z=f(x,y)在点(x0,y0)关于y的偏导数,并将其记作00(,),yfxy00(,),fxyy00(,)|,yxyz'00(,)|xyzy或或或或或000000(,)(,)limlimyyyzfxyyfxyyy返回上页下页目录2020年1月18日星期六4有关偏导数的几点说明•偏导数记号∂z/∂x、∂z/∂y是整体记号,不能拆分;•求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求设例如解xxfxx0|0|lim)0,0(00).0,0(yf返回上页下页目录2020年1月18日星期六5,或,或和,,或如果函数z=f(x,y)在区域D中的每一点(x,y)对x的偏导数都存在,则也是x,y的函数,称为函数f(x,y)对x的偏导函数,同样可以定义f(x,y)对y的偏导函数,它们可以分别记为xz'fxyz'fyxf'zxzyyf'(,)xfxy(,)xfxy(,)yfxy偏导函数常简称为偏导数.返回上页下页目录2020年1月18日星期六62.一阶偏导数的几何意义偏导数的几何意义是:表示曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线在空间点P(x0,y0,f(x0,y0))处的切线Tx的斜率；如图所示.00(,)xf'xy返回上页下页目录2020年1月18日星期六7偏导数的几何意义是:表示曲面z=f(x,y)与平面x=x0的交线在空间点P(x0,y0,f(x0,y0))处的切线Ty的斜率；如图所示.00(,)yf'xy返回上页下页目录2020年1月18日星期六83.偏导数的计算(1).求函数ƒ(x,y)对自变量x的偏导数,只须将自变量由偏导数的定义知：用一元函数的求导法则对x求导；(2).求函数ƒ(x,y)对自变量y的偏导数,只须将自变量y看成常数，x看成常数,用一元函数的求导法则对y求导.返回上页下页目录2020年1月18日星期六9例1求函数解把y看成常量，对x求导数得2218sinzxy在点（，）处的两个偏导数8(1,)2sin2,|2sin24zzxyxx82(1,)2cos2,2cos24xyzzxyyy把看成常量，对求导数得返回上页下页目录2020年1月18日星期六10例2.求223yyxxz解法1:xz)2,1(xz解法2:)2,1(xz在点(1,2)处的偏导数.)2,1(yz,32yxyzyx23)2,1(yz462xx1xz231yy2yz因为对x求偏导数时,把y看作常数,故可先把y的值代入,因为对y求偏导数时,把x看作常数,故可先把x的值代入,返回上页下页目录2020年1月18日星期六11例7.9求在点(1,－1)处的偏导数2esin()yxzxy(1,1)(1,1)|,|.zzxy解因为222esin()ecos()2yyxxzyxyxyxxx221esin()ecos()yyxxzxyxyyx所以111(1,1)|e0e22ezx111(1,1)|e0e1ezy返回上页下页目录2020年1月18日星期六12另法,121|(,1)esin(1)xyzfxx12(1,1)1d|[esin(1)]|dxxzxxx1122121[esin(1)ecos(1)2]|xxxxxxx12e1|(1,)esin(1)yxzfyy(1,1)1d|[esin(1)]|dyyzyyy1[esin(1)ecos(1)]|yyyyy1e返回上页下页目录2020年1月18日星期六13例7.10设,求22232(,)(2)(1)arcsinxfxyxyyy(2,1),(0,1).xyf'f'解先确定f(x,1),f(0,y).22(,1)(2),fxx故(2,1)16xf'又23(0,)4,fyy于是8(0,1)3yf'2(,1)4(2)xf'xxx138(0,)3yf'yy返回上页下页目录2020年1月18日星期六14例7.11求下列函数对所有自变量的偏导函数;2(1)arctan(e);(2)();(3).zyyxyzxzaxbywx解2222e(1)1eyyzxx22222e1eyyzxyyx返回上页下页目录2020年1月18日星期六15ln()(2)eyaxbyxzln()2e[ln()]yaxbyxzyyaaxbyxxxaxby2()[ln()]yxyaxaxbyaxbyxaxbyln()1e[ln()]yaxbyxzybaxbyyxxaxby1()[ln()]yxbyaxbyaxbyxaxby返回上页下页目录2020年1月18日星期六16ln(3)ezyxwlnezzyxwyxxzzyyxx1zzyyxln1elnzyxzwzyxy1lnzzyzyxxlnelnlnzyxzwyyxzlnlnzzyyxxy返回上页下页目录2020年1月18日星期六17练习求下列函数的偏导数:(1);(2).yyzxzxuxyz(1)())yxzxx解（幂函数的导数1;yyx())yyzxy（指数函数的导数ln.yxx(2).遇到多个部分的乘积可采用取对数的方法lnlnlnlnuyxzyxz两边对x求导(ln).yzxxyuxyzzxlnxuyzux两边对y求导(ln).yzxyzuxyzxylnyuzxuy两边对z求导(ln).yzxzxuxyzyzlnzuxyuz返回上页下页目录2020年1月18日星期六184.二元函数的偏导数与连续性之间的关系中,“若函数ƒ(x,y)在某点的两个偏导数ffxy与均存在，(,).fxy而函数在该点却不一定连续222222012(),00xyxyxyfx,yxy例7.证明的偏导数存在二元函数的偏导数与连续性之间的关系，与一元函数的可导与连续的关系，有着本质的区别.一元函数有“可导必连续”的性质；但在二元函数(0,0).但在点处不连续返回上页下页目录2020年1月18日星期六19(0,0)xf解(0,0)yf(,)(00)lim()xyfx,y，但22(,)(0,0)limxyxyxy(,)(00)lim(),xyfx,y，不存在220lim11xykxkkkk其值随k而变,则0(0,0)(0,0)lim0xfxfx0(0,0)(0,0)lim0yfyfy(,)(0,0).fxy从而在处不连续返回上页下页目录2020年1月18日星期六200000,lim()xxyfx,y当时000000222200022lim(,),xxxyxyfxyxyxy00000,lim()lim(0)xxxxyfx,yfx,而当时但此函数对变量x(而变量y的值固定)或y(而变量x的值固定)却是连续的.实际上000(0)();fx,fx,y故函数ƒ(x,y)对变量x是连续的.同理可证函数ƒ(x,y)对变量y是连续的.而且当(x,y)不是原点时，函数ƒ(x,y)却是连续的.返回上页下页目录2020年1月18日星期六21偏导数记号是一个例.已知理想气体的状态方程求证:1pTTVVp证:,VTRp,pTRVpTTVVp说明:(R为常数),Vp2VTRTVpRVpTR1不能拆分此例表明,整体记号,返回上页下页目录2020年1月18日星期六22一般说来还是x,y的二元函数.,xyzz二.高阶偏导数的概念及计算函数z=ƒ(x,y)的偏导数如果这两个偏导函数对自变量x和y的偏导数还存在，则称这些偏导数为ƒ(x,y)的二阶偏导数.依照对变量求导的先后不同次序，共有下列四个二阶偏导数：22()zzxxx记2()zzyxxy记(,)xxxxzfxy或或；(,)xyxyzfxy或或；2()zzxyyx记(,)yxyxzfxy或或；22()zzyyy记22,(,).zzfxyxyyx其中叫做的二阶混合偏导数仿此还可定义比二元函数更高阶的偏导数.如23232322(),().zzxxxzzyxxy(,)yyyyzfxy或或；返回上页下页目录2020年1月18日星期六23例7.17求下列函数的所有二阶偏导数:342(1)3;(2)esin().xyzxyxyzyxy解(1)2233,zxyx346zyxyy226,zxx222126zyxy26,zyxy26zyyx注1此例中两个二阶的混合偏导数是相等的，即22.zzxyyx返回上页下页目录2020年1月18日星期六24(2)2ecos(),xyzyyxyxeecos()xyxyzxyxxyy2322esin(),xyzyyxyx22222eesin()xyxyzxxyxxyy22(2)ecos()sin()xyzyxyxyxyxyxy22eeecos()sin()xyxyxyzyyxyxyxyxyyx2(2)ecos()sin()xyyxyxyxyxy返回上页下页目录2020年1月18日星期六25定理7.4若函数z=f(x,y)的两个混合偏导数和在区域D内连续,则在D内必相等,即(,)xyf''xy(,)yxf''xy(,)(,)xyyxf''xyf''xy注2此定理告诉我们二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.222222ln0.zzzxyxy例验证函数满足问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？返回上页下页目录2020年1月18日星期六26例7.18证明函数满足方程.222lnuxyz2222222221uuuxyzxyz证由得2221ln()2uxyz222122uxxxyz22222222222()uxyzxxxyz222xxyz2222222()yzxxyz返回上页下页目录2020年1月18日星期六27所以2222222222222()uuuxyzxyzxyz2221xyz利用函数的对称性,可知222222222,()uxzyyxyz222222222()uxyzzxyz返回上页下页目录2020年1月18日星期六28练