轴向拉伸和压缩

§2-2拉(压)杆的内力§2-4斜截面上的应力§2-3横截面上的正应力§2-5拉(压)杆的变形和位移§2-8强度计算§2-6材料在拉压时的力学性能§2-7应力集中目录§2-1概述§2-1轴向拉伸与压缩的概念和实例轴向拉压的受力特点作用于杆件上的外力或外力合力的作用线与杆件轴线重合。轴向拉压的变形特点杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。FFFF拉绳P课堂练习：图示各杆BC段为轴向拉伸（压缩）的是（）ABCDFAABCDFBABCDFCA§2-2拉(压)杆的内力内力：指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合力。（附加内力）研究内力方法：截面法外力变形晶粒距离改变附加内力产生迫使产生1.内力的概念FFFFmmFNFNF0xF0NFFFFN称为轴力2.轴力和轴力图取左：取右：xx0xF0NFFNFF得得NFF轴力正负号规定：拉力FNFFNF压力NNFF故和均为正上述求解拉（压）杆轴力的方法称为截面法，其基本步骤是：①截开：在需求内力的截面处，假想地用该截面将杆件一分为二。②代替：任取一部分，另一部分对其作用以内力代替。(假设为正）③平衡：建立该部分平衡方程，解出内力。FFmmFNFx0xNFF轴力图：为了清楚地看到轴力沿杆长的变化规律，可以用图线的方式表示轴力的大小与横截面位置的关系。这样的图线称为轴力图。x轴表示横截面位置，FN轴表示对应该位置的轴力大小。例如前面例题的轴力图FFxFFNONFxo例2-1（书例2-1）一等直杆受四个轴向外力作用，如图所示。试作轴力图F1=10kNF2=25kNF3=55kNF4=20kNABCD1122F1=10kN1NF0xF110NFF1110NFFkN拉力F1=10kNF2=25kN2NF0xF2120NFFF212102535NFFFkNkNkN拉力F1=10kNF2=25kNF3=55kNF4=20kNABCD112233F4=20kN3NF0xF340NFF3420NFFkN压力110NFkN235NFkN320NFkN103520/NFkNxO几点说明：（1）荷载将杆件分成几段，就取几个截面来研究（2）轴力大小与截面面积无关（3）集中力作用处轴力图发生突变，突变值等于该集中力kN20kN30kN40N1F0xF14030200NFkN20kN30kN40ABCD112233解：1-1截面kN20kN30N2F150kNNF得拉0xF230200NF2-2截面kN20N3F201050210kN(NF得拉)0xF3200NF320kN()NF得压3-3截面例2-2试作轴力图/NFkNxO例2-3（书例2-2）一受力如图所示的阶梯形杆件，q为沿轴线均匀分布的荷载。试作轴力图。ABCDFFFFqlll2l解：首先求出A端反力FRFFFqRF11330xF220RFqlFF32RFFqlF由截面法可得AB、CD段轴力：1NRFFF3NFF22FFqRF2NFl1x0xF2120NRFqxFF12NFxFFl10Fx12FxlNFxFFFO课堂练习：1.若将图（a）中的F力由D截面移到C截面（图b），则有（）()A整个杆的轴力都不变化()BABBCCD段的轴力不变，、段的轴力变为零()CABBCCD、段的轴力不变，段的轴力变为零()DA端的约束反力发生变化ABCDF2FABCDF2FabC2.横截面面积为A，长度为l，材料比重为的立柱受力如图所示。若考虑材料的自重，则立柱的轴力图是（）。FlFAlFAlFAlFAlFFFl/2l/2ABCDB3.作图示杆的轴力图F5/qFlllllF3F3F4FFxNF解：设坐标原点在自由端，x轴向右为正。取左侧x段为研究对象，内力FN(x)为：201()d2xNFxkxxkx2max1(),2NFxkl思考题.图示杆长为l，受分布力q=kx作用，方向如图，试画出杆的轴力图。lq(x)FN(x)xq(x)qqlxOFNxO–22kl单凭轴力的大小还不足以判断杆件的受力程度，例如：两根材料相同但粗细不同的杆，在相同的拉力下，随着拉力的增加，则细杆一定先强度不足而破坏。1.应力的概念§2.3横截面上的正应力从工程实用的角度，把单位面积上内力的大小，作为衡量受力程度的尺度，并称为应力。这说明拉压杆的强度除了与轴力的大小有关外，还与横截面的尺寸有关。FFFFFNFFNF应力的一般性定义(书26页）mFpA0limAFpA上的平均应力Ac点总应力正应力（normalstress)切应力(sheeringstress)应力分量应力：分布内力在一点处的集度与强度密切相关、应力单位：2a1P1N/maP帕6aa1MP10P9aa1GP10PFAccpc2.横截面上的正应力为了确定拉（压）杆横截面上的应力，必须首先了解分布内力在横截面上的变化规律。这通常是根据实验观察到的拉（压）杆变形时的表面现象，对杆件内部的变形规律做出假设，再利用变形与分布内力间的物理关系，便可得到分布内力在横截面上的分布规律。bcdaFFacbdFNF平面假设：杆件变形后，原为平面的横截面仍然保持为平面，且仍垂直于轴线。根据平面假设，相邻两个横截面间的所有纵向纤维的伸长是相同的。再根据材料是均匀连续的假设，可以得出横截面上的分布内力是均匀分布的。结论：正应力σ为常量FNF根据静力学求合力的概念AAdAdAANFNFA得（2-1）NFA式中：为轴力，为横截面面积。符号规定：拉应力为正，压应力为负。适用条件：（1）轴力过形心，即必须是轴向拉伸（压缩）（2）符合平面假设Saint-Venant原理：FFFF2F2F2F2F影响区当杆端以均匀分布的方式加力时，（2-1）式对任何横截面都是适用的。当采用集中力或其他非均布的加载方式时，在加力点附近区域的应力分布比较复杂，（2-1）式不再适用，然而影响的长度不超过杆的横向尺寸。例2-4（书例2-3）设例2-1中的等直杆为实心圆截面，直径d=20mm。试求此杆的最大工作应力。F1=10kNF2=25kNF3=55kNF4=20kNABCD103520/NFkNxOFN，max=35kN（BC段）3N,maxN,max6max2243510N111.410111.440.02maaFFPMPAd危险截面：在研究拉（压）杆的强度问题时，通常把最大工作正应力所在的横截面称为危险截面。1F2F2F2F2F123120kN240kN360kN例2-5（书例2-4）一阶梯形立柱受力如图所示，F1＝120kN，F2＝60kN。柱的上、中、下三段的横截面面积分别是A1＝2×104mm2,A2＝2.4×104mm2,A3＝4×104mm2。试求立柱的最大工作正应力。（不计立柱的自重）解：首先作出立柱的轴力图，如右图所示由于立柱是变截面，必须求出各段的工作应力，经过比较才能确定最大正应力。111NFA346212010N21010m6610Pa6MPa（压应力）1F2F2F2F2F123120kN240kN360kN222NFA333NFA结果表明，最大工作应力为10MPa的压应力（中段）346224010N2.41010m61010Pa10MPa346236010N41010m6910Pa9MPa例2-5（书例2-4）一阶梯形立柱受力如图所示，F1＝120kN，F2＝60kN。柱的上、中、下三段的横截面面积分别是A1＝2×104mm2,A2＝2.4×104mm2,A3＝4×104mm2。试求立柱的最大工作正应力。（不计立柱的自重）（压应力）（压应力）16MPa课堂练习：已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q=42kN/m，屋架中的钢拉杆为NO.22a型工字钢，试求钢拉杆横截面的正应力。（不计钢拉杆的自重）①整体平衡求支反力解：00xAxFF2420-161602BAyMF336AyFkNqACB16m钢拉杆AxFAyFBF③求应力NFA0CM②局部平衡求轴力查书附录Ⅱ的型钢表：NO.22a工字钢A＝42cm2AC8mAxFAyFNFq=42kN/mCxFCyF34267210N4210m160MPa616010Pa24228336802NF672NFkN§2-4斜截面上的应力规定：从横截面按逆时针转到斜截面的a角为正，反之为负。FFmma由平衡方程：Fa＝F则：FpAaaaAa：斜截面面积cosAAaacoscosFFpAAaaaaapa为斜截面上任一点的总（全）应力FmmpaFaa仿照横截面上正应力为均匀分布的推理过程，可得到a斜截面上的应力也是均匀分布的，用pa表示σ为横截面上的正应力斜截面上总应力：cospaa将pa沿着斜截面的法线和切线分解：cospaaa2cosacossinaasinpaaasin22a切应力符号规定如下：它绕截面内侧某点有顺时针转动趋势者为正；反之为负。Fmmpaaaaapa正应力:切应力:（2-2）00000amax00045amax45245290a9090045amin452452§2.5拉(压)的变形和位移一、轴向变形FFl1lb1blll1NFlFllEAEA轴向伸长：引入比例常数E，并注意到FN=F，得到实验表明，当拉杆横截面上的正应力不超过材料的比例极限时，不仅变形是弹性的，而且伸长量Δl与拉力F和杆长l成正比，即FllA（2-3）E称为弹性模量，表示材料在拉压时抵抗弹性变形的能力，因而它是材料的一种力学性能，单位为Pa，工程中常用GPa。1GPa＝109Pa。其值与材料有关，由实验测定。例如Q235钢：E=200~210GPa。EA称为杆件的拉伸（压缩）刚度。胡克定律E(胡克定律的另一表达式)ll纵向线应变：上式通常称为单向应力状态下的胡克定律。胡克定律成立条件：正应力不超过材料的比例极限符号：拉伸为正、压缩为负FFl1lb1bNFlFllEAEA无量纲(2-4)二、横向变形、泊松比bb横向线应变：vEv和都是表示材料力学性能的弹性常数表2-1FFl1lb1b1bbb横向尺寸缩短量：故与符号相反实验表明,在材料正应力没有超过比例极限时，横向线应变与纵向线应变之比为常数，用绝对值表示为符号：拉伸为负、压缩为正符号：拉伸为正、压缩为负v或写成（2-5）称为横向变形因数或泊松比v无量纲，由实验测定例2-6（书例2-5）已知：AB段:A1＝400mm2BC段:A2=250mm2,E=210GPa求：(1)AB、BC段的伸长量及杆的总伸长量；(2)C截面相对B截面的位移和C截面的绝对位移。（1）变形：物体受力以后发生尺寸和形状的改变。解：111NFllEA339624010N30010m21010Pa40010m30.14310m=0.143mm222NFllEA339624010N20010m21010Pa25010m30.15210m=0.152mm杆的总伸长量12lll0.295mml1＝300l2＝200ABCF＝40kNl1＝300l2＝200AB′C′BC（伸长）（伸长）0.143mm+0.152mm（伸长）显然，两个截面的相对位移，在数值上等于两个截面之间的那