江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学试题+Word版含答案

ReadxIfx≥1Theny←x2－2x－2Elsey←x＋1x－1EndIfPrinty江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学参考公式：样本数据12,,nxxx的方差2211()niisxxn，其中11niixxn.柱体的体积VSh，其中S为柱体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.已知集合{0,1},{1,1}AB，则AB________.2.已知复数z满足(1)1zii（i是虚数单位），则复数z________.3.已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1,9.3,,9.2,9.4x，且这5个分数的平均数为9.3，则实数x________.4.一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的y值为1，则输入的实数x的值为________.5.函数1lnyx的定义域为________.6.某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________.7.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为2，直线20xy经过双C的焦点，则双曲线C的渐近线方程为________.8.已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________.9.已知正数,xy满足1yxx，则1xxy的最小值为________.10.若直线0kxyk与曲线exy（e是自然对数的底数）相切，则实数k________.OP（第8题）(第4题)11.已知函数()sin()(0,)Rfxx是偶函数，点(1,0)是函数()yfx图象的对称中心，则最小值为________.12.平面内不共线的三点,,OAB，满足||1,||2OAOB，点C为线段AB的中点，AOB的平分线交线段AB于D，若|3||2OC，则||OD________.13.过原点的直线l与圆221xy交于,PQ两点，点A是该圆与x轴负半轴的交点，以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N，且直线AN与直线AP的斜率之积等于1，那么直线l的方程为________.14.数列{},{}nnab满足*1(1)()Nnnnnbaan，且数列{}nb的前n项和为2n，已知数列{}nan的前2018项和为1，那么数列{}na的首项1a________.二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点．(1)求证：CM∥平面AB1N；(2)求证：平面A1BN⊥平面AA1B1B.(第15题)16.(本小题满分14分)已知在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且b2－233bcsinA＋c2＝a2.(1)求角A的大小；(2)若tanBtanC＝3，且a＝2，求△ABC的周长．17.(本小题满分14分)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1的焦点在椭圆C2：y2a2＋x2b2＝1上，其中a＞b＞0，且点63，63是椭圆C1，C2位于第一象限的交点．(1)求椭圆C1，C2的标准方程；(2)过y轴上一点P的直线l与椭圆C2相切，与椭圆C1交于点A，B，已知PA→＝35PB→，求直线l的斜率．18.(本小题满分16分)某公园要设计如图(1)所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等三角形所得，如图(2)中所示的多边形ABCDEFGH)，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF＝BE＝1.6m，两根竖轴CH＝DG＝1.2m，记景观窗格的外框(图(2)中实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为lm.(1)若∠ABC＝2π3，且两根横轴之间的距离为0.6m，求景观窗格的外框总长度；(2)由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5m，当景观窗格的面积(多边形ABCDEFGH的面积)最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC的大小与BC的长度．图(1)图(2)(第18题)19.(本小题满分16分)已知在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＋3an＋4＝0，n∈N*.(1)求证：{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)数列{an}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求出满足条件的项；若不存在，请说明理由．20.(本小题满分16分)已知函数m(x)＝x2，函数n(x)＝alnx＋1(a∈R)．(1)若a＝2，求曲线y＝n(x)在点(1，n(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)＝m(x)－n(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围；(3)若函数g(x)＝n(x)－1＋ex－ex≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．(e是自然对数的底数，e＝2.71828…)江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学参考答案及评分标准1.{1}2.－i3.9.54.35.(0，e]6.357.y＝±3x8.389.410.e211.π212.2313.y＝±3x14.32(第15题)15.(1)令AB1交A1B于点O，连接OM，ON，在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B是平行四边形，所以O为AB1的中点，又因为M为AB的中点，所以OM∥BB1，且OM＝12BB1.因为N为CC1的中点，CN＝12CC1，所以OM＝CN，且OM∥CN，所以四边形CMON是平行四边形，(5分)所以CM∥ON，又ON⊂平面AB1N，CM⊄平面AB1N，所以CM∥平面AB1N.(7分)(2)在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以BB1⊥CM.(9分)因为CA＝CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB，又由(1)知CM∥ON，所以ON⊥AB，ON⊥BB1.又因为AB∩BB1＝B，AB，BB1⊂平面AA1B1B，所以ON⊥平面AA1B1B.(12分)又ON⊂平面A1BN，所以平面A1BN⊥平面AA1B1B.(14分)16.(1)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，又b2－233bcsinA＋c2＝a2，所以b2－2bccosA＋c2＝b2－233bcsinA＋c2，即2bccosA＝233bcsinA，(3分)从而sinA＝3cosA，若cosA＝0，则sinA＝0，与sin2A＋cos2A＝1矛盾，所以cosA≠0，所以tanA＝3.又A∈(0，π)，所以A＝π3.(7分)(2)tanB＋tanC1－tanBtanC＝tan(B＋C)＝tan(π－A)＝tan2π3＝－3.(9分)又tanBtanC＝3，所以tanB＋tanC＝－3×(－2)＝23，解得tanB＝tanC＝3.(11分)又B，C∈(0，π)，所以B＝C＝π3.又因为A＝π3，所以△ABC是正三角形，由a＝2，得△ABC的周长为6.(14分)17.(1)椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1的焦点坐标为(±c，0)，代入椭圆C2的方程有c2b2＝1，点P63，63的坐标代入椭圆C1，C2的方程有C1：23a2＋23b2＝1，所以c2b2＝1，a2＝b2＋c2，23a2＋23b2＝1，解得a2＝2，b2＝c2＝1，(3分)所以椭圆C1，C2的标准方程分别为x22＋y2＝1，y22＋x2＝1.(5分)(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，m)，由y22＋x2＝1，y＝kx＋m，消去y，得（kx＋m）22＋x2＝1，即1＋k22x2＋kmx＋m22－1＝0，Δ＝k2m2－41＋k22m22－1＝0，即k2＋2－m2＝0.(7分)由x22＋y2＝1，y＝kx＋m，消去y，得x22＋(kx＋m)2＝1，即12＋k2x2＋2kmx＋m2－1＝0，因为直线l与椭圆C1相交，有Δ＝4k2m2－412＋k2(m2－1)＝4k2－12m2＋120(*)，x1，2＝－2km±4k2－12m2＋12212＋k2.(9分)因为PA→＝35PB→，即(x1，y1－m)＝35(x2，y2－m)，则5x1＝3x2，所以5－2km＋4k2－12m2＋12212＋k2＝3－2km－4k2－12m2＋12212＋k2或5－2km－4k2－12m2＋12212＋k2＝3－2km＋4k2－12m2＋12212＋k2化简得，km＝4k2－12m2＋12或km＝－4k2－12m2＋12，即k2m2＝16k2－12m2＋12.(12分)又因为k2＋2－m2＝0，解得k2＝2，m2＝4或k2＝4，m2＝6，符合(*)式，所以直线l的斜率为±2或±2.(14分)18.(1)记CH与AF，BE的交点为M，N，由∠ABC＝2π3，得在△BCN中，∠CBN＝π6，其中CN＝HM＝12(1.2－0.6)＝0.3m，所以BC＝CNsin∠CBN＝0.3sinπ6＝35m，BN＝CNtan∠CBN＝0.3tanπ6＝3310m，(2分)所以CD＝BE－2BN＝1.6－335＝8－335，则AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FG＋GH＋HA＝2AB＋2CD＋4BC＝1.2＋16－635＋125＝34－635.(5分)答：景观窗格的外框总长度为34－635m．(6分)(2)AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FG＋GH＋HA＝2AB＋2CD＋4BC≤5，设∠CBN＝α，α∈0，π2，BC＝r，则CN＝rsinα，BN＝rcosα，所以AB＝CH－2CN＝1.2－2rsinα，CD＝BE－2BN＝1.6－2rcosα，所以2(1.2－2rsinα)＋2(1.6－2rcosα)＋4r≤5，即4r(sinα＋cosα－1)≥35.(8分)设景观窗格的面积为S，有S＝1.2×1.6－2r2sinα·cosα≤4825－9sinαcosα200（sinα＋cosα－1）2(当且仅当4r（sinα＋cosα－1）＝35时取等号.(9分)令t＝sinα＋cosα∈(1，2]，则sinαcosα＝t2－12，所以S≤4825－9t2－12200（t－1）2＝4825－9400·1＋2t－1，其中1＋2t－1≥1＋22－1当且仅当t＝2，即α＝π4时取等号，(12分)所以S≤4825－94001＋2t－1≤4825－9400·1＋22－1＝4825－9400(3＋22)＝741400－92200，即S≤741400－92200当且仅当4r（sinα＋cosα－1）＝35且α＝π4时，取等号，所以当且仅当r＝3（2＋1）20且α＝π4时，S取到最大值．(15分)答：当景观窗格的面积最大时，此景观窗格的设计方案中∠ABC＝3π4且BC＝3（2＋1）20m．(16分)19.(1)由an＋1＋3an＋4＝0，得an＋1＋1＝－3(an＋1)，n∈N*，(2分)其中a1＝1，所以a1＋1＝2≠0，可得an＋1≠0，n∈N*，(4分)所以an＋1＋1an＋1＝－3，n∈N*，所以{an＋1}是以2为首项，－3为公比的等比数列，(6分)所以an＋1＝2(－3)n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝2(－3)n－1，n∈N*.(8分)(2)若数列{an}中存在三项am，an，ak(mnk)符合题意，其中k－n，k－m，n－m都是正整数，(9分)分以下三种情形：①am位于中间，则2am＝an＋ak，即2[2(－3)m－1－1]＝2(－3)n－1－1＋2(－3)k－1－1，所以2(－3)