三角函数的图像与性质知识点及习题

三角函数的图象与性质基础梳理1．“五点法”描图(1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)π2，1(π，0)32π，－1(2π，0)(2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)2.三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：__x＝kπ＋π2(k∈Z)___；对称中心：_(kπ，0)(k∈Z)___对称轴：x＝kπ(k∈Z)___；对称中心：_(kπ＋π2，0)(k∈Z)__对称中心：_kπ2，0(k∈Z)__周期2π_2ππ单调性单调增区间_[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)___；单调减区间[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)__单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)____；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)______单调增区间_(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)___奇偶性奇函数偶函数奇函数3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.4.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，所以1叫做y＝sinx，y＝cosx的上确界，－1叫做y＝sinx，y＝cosx的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号)(1)y＝sin2x－π4；(2)y＝sinπ4－2x.热身练习:1．函数y＝cosx＋π3，x∈R()．A．是奇函数B．既不是奇函数也不是偶函数C．是偶函数D．既是奇函数又是偶函数2．函数y＝tanπ4－x的定义域为()．A.xx≠kπ－π4，k∈ZB.xx≠2kπ－π4，k∈ZC.xx≠kπ＋π4，k∈ZD.xx≠2kπ＋π4，k∈Z3．函数y＝sin(2x＋π3)的图象的对称轴方程可能是()A．x＝－π6B．x＝－π12C．x＝π6D．x＝π12【解析】令2x＋π3＝kπ＋π2，则x＝kπ2＋π12(k∈Z)∴当k＝0时，x＝π12，选D.4．y＝sinx－π4的图象的一个对称中心是()．A．(－π，0)B.－3π4，0C.3π2，0D.π2，0解析∵y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－π4＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋π4(k∈Z)，由k＝－1，x＝－34π得y＝sinx－π4的一个对称中心是－3π4，0.答案B5．下列区间是函数y＝2|cosx|的单调递减区间的是()A.(0，π)B.－π2，0C.3π2，2πD.－π，－π26．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对任意x∈R恒成立，且f(π2)f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A．[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)B．[kπ，kπ＋π2](k∈Z)C．[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)D．[kπ－π2，kπ](k∈Z)【解析】当x∈R时，f(x)≤|f(π6)|恒成立，∴f(π6)＝sin(π3＋φ)＝±1可得φ＝2kπ＋π6或φ＝2kπ－5π6，k∈Z∵f(π2)＝sin(π＋φ)＝－sinφf(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ∴sinφ0∴φ＝2kπ－5π6由－π2＋2kπ≤2x－5π6≤π2＋2kπ得x∈[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)，选C.7.函数f(x)＝3cosx2－π4x∈R的最小正周期为___4π_____．8..y＝2－3cosx＋π4的最大值为___5_____，此时x＝_____34π＋2kπ，k∈Z_________.9．函数y＝(sinx－a)2＋1，当sinx＝1时，y取最大值；当sinx＝a时，y取最小值，则实数－1≤a≤0.10．函数f(x)＝sin2x＋3sinxcosx在区间[π4，π2]上的最大值是.【解析】∵f(x)＝1－cos2x2＋32sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin(2x－π6)＋12，又π4≤x≤π2，∴π3≤2x－π6≤5π6.∴当2x－π6＝π2即x＝π3时，f(x)取最大值32.题型一与三角函数有关的函数定义域问题例1求下列函数的定义域：(1)y＝lgsin(cosx)；(2)y＝sinx－cosx.解(1)要使函数有意义，必须使sin(cosx)0.∵－1≤cosx≤1，∴0cosx≤1.利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0OM≤1，∴OM只能在x轴的正半轴上，∴其定义域为{x|－π2＋2kπxπ2＋2kπ，k∈Z}.(2)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示.在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为x|π4＋2kπ≤x≤5π4＋2kπ，k∈Z.变式训练1(1)求函数ylg(2sin1)tan1cos()28xxx的定义域；解(1)要使函数有意义，则2sinx－10－tanx－1≥0cosx2＋π8≠0⇒sinx12，tanx≤－1，x2＋π8≠kπ＋π2.图①如图①利用单位圆得：2kπ＋π6x2kπ＋5π6，kπ＋π2x≤kπ＋3π4，x≠2kπ＋3π4k∈Z.∴函数的定义域为{x|2kπ＋π2x2kπ＋3π4，k∈Z}.(2)求函数y122logtanxx的定义域.要使函数有意义则2＋log12x≥0，x0，tanx≥0，x≠kπ＋π2，k∈Z⇒0x≤4，kπ≤xkπ＋π2k∈Z.利用数轴可得图②图②∴函数的定义域是{x|0xπ2或π≤x≤4}.题型二、三角函数的五点法作图及图象变换例2已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋π6)－1.(1)用五点法作出f(x)在一个周期内的简图；(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？【解析】(1)y＝f(x)＝4cosxsin(x＋π6)－1＝4cosx(32sinx＋12cosx)－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)2x＋π60π2π3π22πx－π122π125π128π1211π12y020－20∴函数y＝f(x)在[－π12，11π12]上的图象如图所示．【点评】“五点法作图”应抓住四条：①化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T＝2πω；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点．当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点．题型三三角函数图象与解析式的相互转化例3函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A0，ω0,0φπ2)的部分图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)设g(x)＝[f(x－π12)]2，求函数g(x)在x∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x的值．【解析】(1)由图可知A＝2，T4＝π3，则2πω＝4×π3∴ω＝32.又f(－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0∴sin(φ－π4)＝0∵0φπ2，∴－π4φ－π4π4∴φ－π4＝0，即φ＝π4∴f(x)＝2sin(32x＋π4)．(2)由(1)可得f(x－π12)＝2sin[32(x－π12)＋π4]＝2sin(32x＋π8)∴g(x)＝[f(x－π12)]2＝4×1－x＋π42＝2－2cos(3x＋π4)∵x∈[－π6，π3]∴－π4≤3x＋π4≤5π4，∴当3x＋π4＝π，即x＝π4时，g(x)max＝4.【点评】根据y＝Asin(ωx＋φ)＋K的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝最高点－最低点2；②K的确定：根据图象的最高点和最低点，即K＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T＝2πω(ω0)来确定ω；④φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx＋φ＝0，x＝－φω)确定φ.例4若方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数根x1，x2，求a的取值范围，并求此时x1＋x2的值．【解析】∵3sinx＋cosx＝2sin(x＋π6)，x∈[0,2π]，作出y＝2sin(x＋π6)在[0,2π]内的图象如图．由图象可知，当1＜a＜2或－2＜a＜1时，直线y＝a与y＝2sin(x＋π6)有两个交点，故a的取值范围为a∈(－2,1)∪(1,2)．当1＜a＜2时，x1＋π6＋x2＋π6＝π.∴x1＋x2＝2π3.当－2＜a＜1时，x1＋π6＋x2＋π6＝3π，∴x1＋x2＝8π3.【点评】利用三角函数图象形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷的解决，因此我们必须准确把握三角函数“形”的特征．例4已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π12个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得到y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的解析式，并求满足g(x)≥2且x∈[0，π]的实数x的取值范围．【解析】(1)由函数图象的最低点为M(2π3，－2)，得A＝2，由x轴上相邻两个交点间的距离为π2，得T2＝π2，即T＝π，∴ω＝2ππ＝2.又点M(2π3，－2)在图象上，得2sin(2×2π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，故4π3＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，∴φ＝2kπ－11π6，又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6.综上可得f(x)＝2sin(2x＋π6)．(2)将f(x)＝2sin(2x＋π6)的图象向右平移π12个单位，得到f1(x)＝2sin[2(x－π12)＋π6]，即f1(x)＝2