高考数学文科一轮总复习解析几何-(1)

第九篇解析几何第1讲直线的方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为________．解析直线的斜率为k＝tanα＝3，又因为α∈[0，π)，所以α＝π3.答案π32．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－34.则直线l的方程为________．解析由点斜式，得y－5＝－34(x＋2)，即3x＋4y－14＝0.答案3x＋4y－14＝03．(2014·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．解析∵kAC＝5－36－4＝1，kAB＝a－35－4＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案44．(2014·泰州模拟)直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.解析令x＝0，得y＝k4；令y＝0，得x＝－k3.则有k4－k3＝2，所以k＝－24.答案－245．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m＝________.解析由题意可知2m2＋m－3≠0，即m≠1且m≠－32，在x轴上截距为4m－12m2＋m－3＝1，即2m2－3m－2＝0，解得m＝2或－12.答案2或－126．(2014·佛山调研)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足________．①ab0，bc0；②ab0，bc0；③ab0，bc0；④ab0，bc0.解析由题意，令x＝0，y＝－cb0；令y＝0，x＝－ca0.即bc0，ac0，从而ab＞0.答案①7．(2014·淮阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝12，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪12，＋∞.答案(－∞，－1)∪12，＋∞8．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析设所求直线的方程为xa＋yb＝1，∵A(－2,2)在直线上，∴－2a＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a|·|b|＝1.②由①②可得(1)a－b＝1，ab＝2或(2)a－b＝－1，ab＝－2.由(1)解得a＝2，b＝1或a＝－1，b＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x2＋y1＝1或x－1＋y－2＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．答案x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0二、解答题9．(2014·临沂月考)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，当然相等．∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a－2a＋1＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∴－a＋1＞0，a－2≤0或－a＋1＝0，a－2≤0.∴a≤－1.综上可知a的取值范围是(－∞，－1]．10．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解存在．理由如下：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A2－1k，0，B(0,1－2k)，△AOB的面积S＝12(1－2k)2－1k＝124＋－4k＋－1k≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－1k，即k＝－12时，等号成立，故直线l的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·北京海淀一模)已知点A(－1,0)，B(cosα，sinα)，且|AB|＝3，则直线AB的方程为________．解析|AB|＝cosα＋12＋sin2α＝2＋2cosα＝3，所以cosα＝12，sinα＝±32，所以kAB＝±33，即直线AB的方程为y＝±33(x＋1)，所以直线AB的方程为y＝33x＋33或y＝－33x－33.答案y＝33x＋33或y＝－33x－332．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是________．解析如图，直线l：y＝kx－3，过定点P(0，－3)，又A(3,0)，∴kPA＝33，则直线PA的倾斜角为π6，满足条件的直线l的倾斜角的范围是π6，π2.答案π6，π23．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．解析直线方程可化为x2＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2b－122＋12，由于0≤b≤1，故当b＝12时，ab取得最大值12.答案12二、解答题4．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝12x上时，求直线AB的方程．解由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－33x，设A(m，m)，B(－3n，n)，所以AB的中点Cm－3n2，m＋n2，由点C在y＝12x上，且A，P，B三点共线得m＋n2＝12·m－3n2，m－0m－1＝n－0－3n－1，解得m＝3，所以A(3，3)．又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝33－1＝3＋32，所以lAB：y＝3＋32(x－1)，即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.