初中三大函数

函数何谓“函数”，函数是一种关系，所谓变量之间的关系，变量常常以字母的方式表现出来，所以说简单点，函数就是字母间的关系。函数难题就是参数的计算，计算就是初中的算理算法，难，难在哪？难在关系的找法，不同题型不同的解法。每一题不同的关系，找到关系就只剩计算。解函数综合题，简单说，找关系、然后计算。初中三大函数+少见的复合函数函数：三要素：x（取值范围）、解析式、y图象性质：增减性、交点问题、取值范围、分段函数、函数与方程——比较大小、面积问题图形变换：平移特殊性质：如一次函数k、反比例分象限、二次函数的对称性和最值问题一次函数定义：自变量、因变量、整式概念形如y=kx+b（k≠0）1、我们知道，若两个有理数的积为1，则称这两个有理数互为倒数。同样的，当两个实数+ab与ab的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数。（1）判断42与42是否互为倒数，并说明理由；（2）若实数xy是xy的倒数，求点（x，y)中纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并画出函数图象．图像性质：1、画图：两点法——列表、描点、连线1、已知函数211ymxm，求当m为何值时：（1）此函数为一次函数；（2）此函数为正比例函数2、用描点法画出下列函数图象：(1)y=2x＋1(2)y=21x(3)y=21x＋(4)y=21x图象图象性质：增减性、比较大小1、已知点A（m1，n1），B（m2，n2），（m1m2）在直线y=kx+b上。若m1+m2=3b，n1+n2=kb+4，b2。试比较n1和n2的大小，并说明理由。k0k0正比例函数ykxyxyxb0b0b0b0一次函数ykxbyxyxyxyx所在象限两条直线关系：平行、相交5、我们知道，当两条直线公共点时，称这两条直线相交．类似地，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点为O(0，0)、A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)．（1）判断直线y＝13x＋56与正方形OABC是否相交，并说明理由；（2）设d是点O到直线y＝－3x＋b的距离，若直线y＝－3x＋b与正方形OABC相交，求d的取值范围．xyBCOA与x、y轴交点、交点、比较大小、分段函数、形成的面积问题1、直线y=3x＋2与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是；直线y=x＋2与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是；2、一次函数y＝3x＋b的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求b.3、已知整数x满足1205225xyxyx，，，对任意一个12xyy，，中的较大值用m表示，则m的最小值是（）A．3B．5C．7D．24、在平面直角坐标系中，已知函数12yx和函数26yx，不论x取何值，0y都取1y与2y之间的较小值。求0y关于x的函数关系式；并画出0y关于x的图象．5、已知点P是直线y＝3x－1与直线y＝x＋b(b＞0)的交点，直线y＝3x－1与x轴交于点A，直线y＝x＋b与y轴交于点B．若△PAB的面积是23，求b的值．图形变换：平移——上加下减2、特殊性质：3k1、如图，在平面直角坐标系xoy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是()A．2B．3C．4D．5yxO622、如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A(3，0)，B(0，3)两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D。若36ACDS△，求C点坐标；xyDCOBA反比例函数定义：形如kyx图象性质：1、画图：3-5点——列表、描点、连线增减性、对称性1、菱形的面积为6，写出它的两条对角线长x与y的函数关系，并画出函数图像。2、(1)正比例函数y=k1x(k1≠0)和反比例函数y=2kx(k2≠0)的一个交点为(m，n)，则另一个交点为_________.(2)直线ykx(k＞0)与双曲线4yx交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则122127xyxy的值等于______；2、反比例函数性质【知识要点】k的符号k＞0k＜0函数图象(抛物线)x，y取值范围x取值范围：x≠0y取值范围：y≠0x取值范围：x≠0y取值范围：y≠0位置图象在象限内图象在象限内增减性在每一象限内，y随x的增大而在每一象限内，y随x的增大而对称性反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形1、(1)已知点A(a，b)在反比例函数1yx图象上，若1＜a＜2，则b的范围为(2)已知mn=－2，若－1＜m＜2，则n的范围为2、已知实数a，b满足a－b＝1，a2－ab＋2＞0，当1≤x≤2时，函数y＝ax（a≠0）的最大值与最小值之差是1，求a的值．2、与一次函数综合：交点、比较大小、面积问题1、直线-yxb与双曲线1-yx（x＜0），交于点A，与x轴交于点B，则22OAOB。2、已知一次函数ykxb与反比例函数4yx的图象相交于点A（1，m）、B（4，n）.（1）求一次函数的关系式；（2）在给定的直角坐标系中画出这两个函数的图象，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？xy-5-55-4-44-3-33-2-22-1-1154321O3、如图，矩形AOBC中，C点的坐标为(4，3)，，F是BC边上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数kyx(k0)的图像与AC边交于点E。(1)若BF＝1，求△OEF的面积；(2)请探索：是否在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点k的值；若不存在，请说明理由xyEFCABO4、已知点O是平面直角坐标系的原点，直线y＝－x＋m＋n与双曲线1yx交于两个不同的点A(m，n)(m≥2)和B(p，q)，直线y＝－x＋m＋n与y轴交于点C，求△OBC的面积S的取值范围.5、已知点),1(cA和点),3(dB是直线bxky1与双曲线)0(22kxky的交点.（1）过点A作xAM轴，垂足为M,连结BM.若BMAM,求点B的坐标.（2）若点P在线段AB上，过点P作xPE轴，垂足为E，并交双曲线)0(22kxky于点N.当NEPN取最大值时，有21PN，求此时双曲线的解析式.6、已知双曲线2yx和直线y＝﹣2x，点C(a，b)(ab＜2)在第一象限，过点C作x轴的垂线交双曲线于点F，交直线于点B，过点C作y轴垂线交双曲线于点E，交直线于点A．(1)若b＝1，则结论“A、E不能关于直线FB对称”是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举反例.(2)若∠CAB＝∠CFE，设wACEC,当1≤a＜2，求w的取值范围.4、特殊性质：k的几何意义，以及xy=k的消参作用1、已知点A是反比例函数3yx图象上的一点．若AB垂直于y轴，垂足为B，则AOB△的面积．2、双曲线xyxy21与在第一象限内的图像如图7所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为_________3、如图，点M是反比例函数2yx(x0)图象上任意一点，MN⊥y轴于N，点P是x轴上的动点，则△MNP的面积是（）A．1B．2C．4D．不能确定xyAOByxPNMOA．xy1B．xy2C．xy3D．xy64、如图，双曲线)0(＞kxky经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D.若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为()5、如图14，矩形OABC交双曲线)0(＞kxky于E、F两点，已知E是BC的中点，求证：F是AB的中点xyDBACo_____，_________，____a，kaECBFAO6、已知双曲线kyx（k0），过点M（m，m）（mk）作MA⊥x轴，MB⊥y轴，垂足分别是A和B，MA、MB分别交双曲线kyx（k0）于点E、F。（1）若k=2，m=3，求直线EF的解析式；（2）O是坐标原点，连结OF，若∠BOF=22.5°，多边形BOAEF的面积是2，求k的值。二次函数定义：图象性质：1、画图：3-5点（含顶点）——列表、描点、连线增减性、对称性、最值性、与x轴交点、△、f(1)、f(－1)、f(2)、f(－2)、f(m)；函数开口对称轴顶点最大(小)值增减性y＝a(x－h)2＋ka0，开口向上．直线x=h(h，k)当x=h时，y有最小值为k．当xh时，↘；当xh时，↗．a0，开口向下．当x=h时，y有最大值为k．当xh时，↗；当xh时，↘．y＝ax2＋bx＋ca0，开口向上．直线－b2a(－b2a，4ac－b24a)当x=－b2a时，y有最小值为4ac－b24a．当x－b2a时，↘；当x－b2a时，↗．字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bb=0对称轴为y轴a．b同号对称轴在y轴的左边a．b异号对称轴在y轴的右边cc=0经过原点c0在x轴的上方（与y轴的正半轴相交）c0在x轴的下方（与y轴的负半轴相交）△△=0与x轴只有一个交点(顶点在x轴上)△0与x轴有两个交点△0与x轴没有交点2ab2ba与1比较2ab2ba与-1比较abc令x=1，看纵坐标abc令x=-1，看纵坐标42abc令x=2，看纵坐标42abc令x=-2，看纵坐标【基本的图象性质和符号判断】1、二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1，结合图象填空：a0，b0，c0，b2－4ac0，2a＋b0，2a－b0，a＋b＋c0，a－b＋c0，4a＋2b＋c0，4a－2b＋c02、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图2所示，试判断下列各式的符号a0，b0，c0，2a＋b0，2a－b0，b2－4ac0，a＋b＋c0，a－b＋c0，4a＋2b＋c0，4a－2b＋c0xy-2-101xy21-2-101【对称性、增减性】1、若二次函数2()1yxm．当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A、m=1B、m1C、m≥1D、m≤12、已知二次函数2(1)yxbxc，若2x，y随x增大而减小，则实数b的取值范围是___________；若点A（1，c）、1(,)Bay、2(2,)Cy在这个函数图像上，且12yy，则实数a的取值范围是____________；【函数与方程】1、二次函数2yaxbxc(a≠0)中，自变量的x与函数y的对应值如下表：x…-2-101234…y…142mm-212mm12mm-2142m…若1112m，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2的取值范围是（）A、-1x10，2x23B、-2x1-1，1x22C、0x11，1x22D、-2x1-1，3x242、二次函数y=x2—x＋c(14c)一定经过点(1142c，).3、代数式2114114122acacacaa的值是.4、已知一个二次函数的y＝－(x＋h)2＋a2(a≠0)，方程(x＋h)2－a2－1＝0的两根是b，c（b＜c），方程(x＋h)2－a2－2＝0的两根分别为m，n（m＜n），判断b，c，m，n的大小关系（用“＜”连接）．【实际问题】1、汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）与行驶的时间t（单位：秒）的函数关系是s=2156tt，那么汽车刹车后停下来2、从地面击出一个小球，如果不考虑空气阻力，小球的飞行时离地面的高度h（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的函数关系是：h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地要用秒．【取值范围、增减性】1、抛物线y＝x2－2x－3的开口向_______；当﹣2≤x≤0时，y的取值范围是_______________．2、已知实数a,b满足a＋b＝1,a2＋ab＋1＞0，当1≤x≤2时，二次函数y＝ax2－6ax＋9a(a≠0)的最大值与最小值之差是9，求a