2018文科高考真题解析几何

1．如图，在同一平面内，A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r，射线AB交圆A于点P，过P作圆A的切线l，当r（𝑟≥12|𝐴𝐵|）变化时，l与圆B的公共点的轨迹是A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线2．设𝑃是椭圆𝑥25+𝑦23=1上的动点，则𝑃到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）A．2√2B．2√3C．2√5D．4√23．双曲线𝑥23−𝑦2=1的焦点坐标是A．(−√2，0)，(√2，0)B．(−2，0)，(2，0)C．(0，−√2)，(0，√2)D．(0，−2)，(0，2)4．已知椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦24=1的一个焦点为(2 ， 0)，则𝐶的离心率为A．13B．12C．√22D．2√235．直线𝑥+𝑦+2=0分别与𝑥轴，𝑦轴交于𝐴，𝐵两点，点𝑃在圆(𝑥−2)2+𝑦2=2上，则△𝐴𝐵𝑃面积的取值范围是A．[2,6]B．[4,8]C．[√2,3√2]D．[2√2,3√2]6．已知双曲线𝐶：  𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0 ，  𝑏0)的离心率为√2，则点(4,0)到𝐶的渐近线的距离为A．√2B．2C．3√22D．2√27．双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1 (𝑎0, 𝑏0)的离心率为√3，则其渐近线方程为A．𝑦=±√2𝑥B．𝑦=±√3𝑥C．𝑦=±√22𝑥D．𝑦=±√32𝑥8．已知𝐹1，𝐹2是椭圆𝐶的两个焦点，𝑃是𝐶上的一点，若𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2，且∠𝑃𝐹2𝐹1=60°，则𝐶的离心率为A．1−√32B．2−√3C．√3−12D．√3−19．已知抛物线C：𝑦2=4𝑥的焦点是F，准线是l，（Ⅰ）写出F的坐标和l的方程；（Ⅱ）已知点P（9，6），若过F的直线交抛物线C于不同两点A，B（均与P不重合），直线PA，PB分别交l于点M，N.求证：MF⊥NF.10．设常数𝑡2．在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知点𝐹(2 ， 0)，直线𝑙：𝑥=𝑡，曲线𝛤：𝑦2=8𝑥(0≤𝑥≤𝑡 ， 𝑦≥0)．𝑙与𝑥轴交于点𝐴、与𝛤交于点𝐵．𝑃、𝑄分别是曲线𝛤与线段𝐴𝐵上的动点．（1）用𝑡表示点𝐵到点𝐹距离；（2）设𝑡=3，|𝐹𝑄|=2，线段𝑂𝑄的中点在直线𝐹𝑃，求△𝐴𝑄𝑃的面积；（3）设𝑡=8，是否存在以𝐹𝑃、𝐹𝑄为邻边的矩形𝐹𝑃𝐸𝑄，使得点𝐸在𝛤上？若存在，求点𝑃的坐标；若不存在，说明理由．11．（2018年浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+𝑦24=1(x0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．12．设椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为√53，|𝐴𝐵|=√13．（1）求椭圆的方程；（2）设直线𝑙:𝑦=𝑘𝑥(𝑘0)与椭圆交于𝑃，𝑄两点，𝑙与直线𝐴𝐵交于点M，且点P，M均在第四象限．若△𝐵𝑃𝑀的面积是△𝐵𝑃𝑄面积的2倍，求𝑘的值．13．已知椭圆2222:1(0)xyMabab的离心率为63，焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若1k，求||AB的最大值；（Ⅲ）设2,0P，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点71,44Q共线，求k.14．如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，椭圆C过点(√3,12)，焦点𝐹1(−√3,0),𝐹2(√3,0)，圆O的直径为𝐹1𝐹2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于𝐴,𝐵两点．若△𝑂𝐴𝐵的面积为2√67，求直线l的方程．15．设抛物线22Cyx：，点20A，，20B，，过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：ABMABN．16．已知斜率为𝑘的直线𝑙与椭圆𝐶：  𝑥24+𝑦23=1交于𝐴，𝐵两点．线段𝐴𝐵的中点为𝑀(1,𝑚)(𝑚0)．（1）证明：𝑘−12；（2）设𝐹为𝐶的右焦点，𝑃为𝐶上一点，且𝐹𝑃⃑⃑⃑⃑⃑+𝐹𝐴⃑⃑⃑⃑⃑+𝐹𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=0．证明：2|𝐹𝑃⃑⃑⃑⃑⃑|=|𝐹𝐴⃑⃑⃑⃑⃑|+|𝐹𝐵⃑⃑⃑⃑⃑|．17．设抛物线𝐶：  𝑦2=4𝑥的焦点为𝐹，过𝐹且斜率为𝑘(𝑘0)的直线𝑙与𝐶交于𝐴，𝐵两点，|𝐴𝐵| =8．（1）求𝑙的方程；（2）求过点𝐴，𝐵且与𝐶的准线相切的圆的方程．18．双曲线𝑥24−𝑦2=1的渐近线方程________．19．若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦24=1(𝑎0)的离心率为√52，则a=_________.20．直线𝑦=𝑥+1与圆𝑥2+𝑦2+2𝑦−3=0交于𝐴 ，  𝐵两点，则|𝐴𝐵|=________．答案第1页，总13页参考答案1．D【解析】【分析】利用抛物线的定义得动点轨迹为抛物线．【详解】设切线𝑙与圆𝐵的公共点𝑀，过𝐴作直线𝐴𝐵的垂线𝑚，过𝑀作𝑀𝑁⊥𝑚，垂足为𝑁，连𝑀𝐵，则𝑀𝐵=𝑟，𝑀𝑁=𝑃𝐴=𝑟，所以𝑀𝐵=𝑀𝑁，即动点𝑀到定点𝐵的距离等于动点𝑀到定直线𝑚的距离，且定点𝐵不在定直线𝑚上，根据抛物线定义知，动点𝑀的轨迹是以𝐵为焦点，𝑚为准线的抛物线．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线的定义，熟练掌握抛物线的定义是解决此题的关键.2．C【解析】【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【详解】椭圆𝑥25+𝑦23=1的焦点坐标在x轴，a=√5，P是椭圆𝑥25+𝑦23=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2√5．故选：C．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题．3．B【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据𝑐2=𝑎2+𝑏2求焦点坐标.详解：因为双曲线方程为𝑥23−𝑦2=1，所以焦点坐标可设为(±𝑐,0)，因为𝑐2=𝑎2+𝑏2=3+1=4,𝑐=2，所以焦点坐标为(±2,0)，选B.点睛：由双曲线方程𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)可得焦点坐标为(±𝑐,0)(𝑐=√𝑎2+𝑏2)，顶点坐标为(±𝑎,0)，渐近线方程为𝑦=±𝑏𝑎𝑥.4．C【解析】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为(2 ， 0)，从而求得𝑐=2，再根据题中所给的方程中系数，可以得到𝑏2=4，利用椭圆中对应𝑎,𝑏,𝑐的关系，求得𝑎=2√2，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知𝑐=2，因为𝑏2=4，所以𝑎2=𝑏2+𝑐2=8，即𝑎=2√2，所以椭圆𝐶的离心率为𝑒=22√2=√22，故选C.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中𝑎,𝑏,𝑐的关系求得结果.5．A【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到|AB|，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点∴A(−2,0),B(0,−2),则|AB|=2√2∵点P在圆（x−2）2+𝑦2=2上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离𝑑1=|2+0+2|√2=2√2故点P到直线x+y+2=0的距离𝑑2的范围为[√2,3√2]则𝑆△𝐴𝐵𝑃=12|𝐴𝐵|𝑑2=√2𝑑2∈[2,6]故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。6．D【解析】分析：由离心率计算出𝑏𝑎，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可。详解：∵e=𝑐𝑎=√1+(𝑏𝑎)2=√2∴𝑏𝑎=1所以双曲线的渐近线方程为x±y=0所以点（4，0）到渐近线的距离d=4√1+1=2√2答案第3页，总13页故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题。7．A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：∵𝑒=𝑐𝑎=√3,∴𝑏2𝑎2=𝑐2−𝑎2𝑎2=𝑒2−1=3−1=2,∴𝑏𝑎=√2,因为渐近线方程为𝑦=±𝑏𝑎𝑥，所以渐近线方程为𝑦=±√2𝑥，选A.点睛：已知双曲线方程𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎,𝑏0)求渐近线方程：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=0⇒𝑦=±𝑏𝑎𝑥.8．D【解析】分析：设|𝑃𝐹2|=𝑚，则根据平面几何知识可求|𝐹1𝐹2|,|𝑃𝐹1|，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在𝛥𝐹1𝑃𝐹2中，∠𝐹1𝑃𝐹2=90∘,∠𝑃𝐹2𝐹1=60°设|𝑃𝐹2|=𝑚，则2𝑐=|𝐹1𝐹2|=2𝑚,|𝑃𝐹1|=√3𝑚，又由椭圆定义可知2𝑎=|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=(√3+1)𝑚则离心率𝑒=𝑐𝑎=2𝑐2𝑎=2𝑚(√3+1)𝑚=√3−1，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.9．（1）F的坐标为（1，0）；𝑙的方程是x＝－1；（2）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由抛物线的几何性质可得；（Ⅱ）设出𝐴，𝐵坐标，用𝐴，𝐵的坐标表示𝑀，𝑁的坐标，再用斜率公式计算斜率乘积．【详解】（Ⅰ）由题意得，𝐹的坐标为（1，0），𝑙的方程是𝑥＝－1.（Ⅱ）设𝐴(𝑥1,𝑦1) ， 𝐵(𝑥2,𝑦2)(𝑦1≠±6且𝑦2≠±6)，AB的直线方程为𝑥=𝑚𝑦+1（m是实数），代入𝑦2=4𝑥，得𝑦2−4𝑚𝑦−4=0，于是𝑦1+𝑦2=4𝑚,𝑦1⋅𝑦2=−4.由𝑃（9，6），得𝑘𝑃𝐴=4𝑦1+6，直线𝑃𝐴方程为𝑦−6=4𝑦1+6(𝑥−9)，令𝑥＝－1，得𝑀(−1 ， 6𝑦1−4𝑦1+6).所以𝑘𝑀𝐹⋅𝑘𝑁𝐹=𝑦𝐹−𝑦𝑀𝑥𝐹−𝑥𝑀⋅𝑦𝐹−𝑦𝑁𝑥𝐹−𝑥𝑁=9𝑦1𝑦2−6(𝑦1+𝑦2)+4(𝑦1+6)(𝑦2+6)=−1.故𝑀𝐹⊥𝑁𝐹.【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题方法.10．（1）|𝐵𝐹|=𝑡+2；（2）𝑆=12×√3+73=7√36；（3）见解析.【解析】【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线kPF•kFQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据𝐹𝑃→+𝐹𝑄→=𝐹𝐸→，求得E点坐标，则（48+𝑦24𝑦）2=8（𝑦28+6），即可求得P点坐标．【详解】（1）方法一：由题意可知：设𝐵(𝑡 ， 2√2𝑡)，则|𝐵𝐹|=√(𝑡−2)2+8𝑡=𝑡+2，∴|𝐵𝐹|=𝑡+2；方法二：由题意可知：设𝐵