学而思-第五讲-因数与倍数

五年级秋季班第五讲因数与倍数（一）曹威第五讲因数与倍数（一）5.123372126366312214769469434717352429第五讲因数与倍数（一）如果说前四讲的知识点对于大家来说还是有点难得话，那么今天大家就会感觉很轻松啦。原因有三，第一：暑期课程中的分解质因数那讲，大家已经对因数、倍数有所了解；第二：有的老师在讲前期课程时都有过补充最大公因数，最小公倍数的概念和求法（如方程组的加减法）；第三：本学期学校课程里也已经介绍过因数、倍数。所以这讲大家不会觉得很陌生。但这些知识只能算是因数、倍数的最基本的知识点（如最大公因数与最小公倍数求法）。而如何灵活运用这些知识点去解决实际问题大家可能还欠缺一点。今天，我们就开始系统的学习因数与倍数，并将知识点拓展，以解决更多实际问题。大家或许已经注意到，本讲是因数与倍数（一），也就是说今天讲的只是其概念，求法以及简单的运用，到后面我们还会再见到因数与倍数（二），会在本讲的基础之上继续学习因数，倍数中更多的性质，即解题规律。所以今天我们的学习大致可分为如下两项。因数的认知（概念，最大公因数及其求法）因数因数的应用倍数的认知（概念，最小公倍数及其求法）倍数倍数的应一、因数与倍数的认知1、概念：在整除那一讲我们学过，若自然数a,b,c满足关系式ab=c没有余数，则我们说a,b满足整除关系，同时我们也就定义出a=bc。即：a是b与c的倍数，b与c是a的因数。因此因数总是成对出现的。如：24的因数有1和24；2和12；3和8；4和6…（1）若干个数都有的因数我们叫做这几个数的公因数。如：42,54还有60的公因数有2，3还有6。（2）在公因数中最小的都为1,没有研究价值，所以我们只研究最大公因数（公因数中最大的那个）。如：42,54,60这三个数的最大公因数记为：（42,54,60）=6（3）若干个数都有的倍数我们叫做这几个数的公倍数。如：12的倍数有：12,24,36….10的倍数有：10,20,30….则12和10的公倍数有60,120,180….。但公倍数可以无限大，所以我们只研究最小公倍数。如：10,12,24的最小公倍数记为：=1202、最大公因数与最小公倍数的求法（1）短除法：如：求72和126的最大公因数。则72与126的最大公因数为短除式中左边的数相乘；最小公倍数为边上与底下的数都乘。即：=（2）分解质因数法：72=；=2（3）辗转相除法：此方法主要用于求两个较大数的最大公因数。如：求2429和1735的最大公因数？我们假设2429和1735分别是长方形的两个边长，若此长方形的长和宽都可以分解出若干个边长一样且最大的小正方形，则此正方形的边长即为长2429和宽1735的最大公因数，由图可知：‥‥‥‥也就是说2429和1735都可以分解成边长最大为347的正方形。即五年级秋季班第五讲因数与倍数（一）曹威第五讲因数与倍数（一）5.2728354561083606186031062436901546最后，我们在回顾一下求347的过程，始终都是用除数除以余数，除数除以余数，直到余数为0时的那个除数即为最大公因数，若除到最后余数为0时的除数为1，则说明两数互质，即最大公因数为1。二、例题讲解例1和例4、求最大公因数与最小公倍数（1）短除法：○1（28,35）=7，○2（108,360）=66=36=66=1080○3（24,36,90）=6注：三个数的最下公倍数与两个数的最小公倍数求法有一点区别：必须除到两两互质为止。（2）分解质因数法：○128=（28,35）=735=5，○2108=（108,360）==36360===1080○324=（24,36,90）=23=636=90=（3）辗转相除法：求3553和1411的最大公因数？‥‥‥‥‥‥‥‥拓展练习：计算下列各数的最大公因数与最小公倍数（36,60）和、（96,168）和、（30,60,75）和、（12,18,40）和、（600,1515）62436902346152315215最大公因数取公有的质因数次数最小的那个最小公倍数取全部质因数中次数最高的那个除到余数为0时的那个除数即为两数的最大公因数。五年级秋季班第五讲因数与倍数（一）曹威第五讲因数与倍数（一）5.3233625221037168126105564235865（24,12）和、（36,72）和、最大公因数与最小公倍数的应用（一）最大公因数的应用引题：用一个数去除30,60,75，都能整除，则这个数最大是多少？分析：“一个数去除30,60,75，都能整除”的意思是说：存在一个数，30可以除以这个数；60可以除以这个数；75也可以除以这个数；即这个数应该是30,60,75的公因数，又因为找这样的最大的数，所以本题实际就是在求30,60,75的最大公因数。解答：（30,60,75）=15例2、分析：问最多可以分成多少份？也就是说如果可以分成n份的话，那么336是应该可以除尽n的（表示每份有多少个苹果）。同理，252和210应该也是可以除尽n的（分别表示每份中桔子和梨各多少个）。那么，n应该是336,252,210的公因数，同样是找最多的份数，所以是在求336,252,210的最大公因数。解答：（1）（336,252,210）=（2）每份中三样水果个数实际上就是短除式中最下面的三个数苹果8个，桔子6个，梨5个。拓展练习：（1）有三根铁丝，长度分别为18,24,30。现要把它们截成长度相等的小段若干根，每根都不允许有剩余，问每一小段最长是多少厘米？一共截了多少段？提示：即为18,24,30的最大公因数解答：6厘米12段（2）把20个梨和25个苹果平均分给若干个小朋友，分完后发现剩下2个梨，缺2个苹果，问最多多少个小朋友？提示：也就是说20-2=18个梨和25+2=27个苹果正好分给若干个小朋友。即18和27的最大公因数。解答：9个（3）把一个2002847的长方形分解成若干个完全相同的小正方形且没有剩余，则最少可以分解出多少个这样的小正方形？提示：若想让小正方形最少，则小正方形的边长应最长，且无剩余，则长和宽都可以除尽小正方形的边长则小正方形的边长即为2002和847的最大公因数，（辗转相除法的应用）尖子班学案1和作业3与此题原理相同。解答：（2002,847）=772002847（7777）=286例3、分析：此题关键之处在于：若三个数的和是1111，则三个数的最大公因数肯定也是1111的因数。若三个数的最大公因数为d，则三个数肯定都能分解成d乘以一个数的形式，如短除式所示：；；（是互质的）。所以三数相加求和时公因数d是可以提出来的即（=1111。所以d肯定是1111的因数。又因为1111的因数有1、11、101、1111。所以d最大只能为101。（三数之和才达到1111，所以d不可能为1111）。解答：三数的最大公因数为101注：同理两数的最大公因数同样也是两数差的因数，通常可以借用此方法来求多个大数的最大公因数拓展练习：（1）求435,783,928的最大公因数？提示：435与783的最大公因数一定是783-435=348的因数。同样，783与928的最大公因数也一定是928-783=145的因数，所以三数的最大公因数应该是348与145的最大公因数。解答：783-435=348928-783=145（435,783,928）=（348,145）=29（2）将的长方体，分成一些完全相同的小正方体，那么至少可以分成多少个？提示：同例2的练习3，找此三数的最大公因数，方法用两两做差即可。解答：（2004,1169,334）=（2004-1169,1169-334）=167个若两数存在倍数关系两数中较大的数为最大公因数；两数中较小的数为最小公倍数。公因数，较小的数为最大公因数。五年级秋季班第五讲因数与倍数（一）曹威第五讲因数与倍数（一）5.4（3）有三根铁丝分别长336厘米，444厘米，516厘米，把它们截成等长且尽可能长的整厘米小段（无剩余）。若把这些整厘米小段铁丝焊接成正方体框架，能得到多少个这样的正方体框架？提示：同例2的练习1，先求出能截出多少段，再用总段数除以12即可。求336,444,516的最大公因数可用两两相减的方法。解答：（336,444,516）=12（）12=9个（二）最小公倍数的应用例5、分析：此题关键是求出总人数，由题意可知总人数应该是可以分别和7,3,2约分的，所以总人数为7，3，2的公倍数，又因为总人数要小于50，所以为三数的最小公倍数。则差等生可求。解答：=42拓展练习：（1）有一个商店准备今年7月1日开业，有三个批发商从这个商店批发货。甲批发商每6天来一次，乙批发商每8天来一次，丙批发商每9天来一次，问三个人在7月1日见面后，在过多少天还在这家商店见面？提示：找6,8,9的最小公倍数解答：=72（2）动物园里的饲养员给三群猴子分花生。如果只分给第一群猴子，则每只猴子可分得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可分得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可分得20粒；那么，把花生同时分给三群猴子，平均每只猴子最少可分得花生多少粒？提示：花生的总数应该是的最小公倍数，则花生总数求出后，每群猴子的数量即可求，则此题可解解答：=60,个（3）文化补习班的教材不够，暂时每两人用一本语文课本，每三人用一本数学课本，每四人用一本英语课本，全班共用了91本课本，问全班有多少人？提示：全班人数最少应为2,3,4的最小公倍数12，此时对应的课本本数也是最少的本数本但此时共用了91本，扩大了7倍，则人数也相应扩大7倍，为127=84人。解答：=12，，911312=84人（4）加工一种零件有三道工序，第一道工序每个工人每小时完成48个零件；第二道工序每个工人每小时完成32个零件；第一道工序每个工人每小时完成28个零件；问每道工序至少要安排多少名工人，才能搭配合适，使每道工序不产生积压和停工等料？提示：此题关键是：“每道工序不产生积压和停工等料”。即每道工序生产出来的零件个数必须一样多才可以，则每道工序的零件个数应为48,32,28的最小公倍数，则每道工序的工人数可求。解答：=672,第一道工序：人；第二道工序：人；第三道工序：人；例6、分析：因为甲乙二人都是从A点出发，所以要想还在A点相遇，则二人必须都要走整圈数才可以。分别找出甲和乙各走一圈的时间，找其最小公倍数即可。解答：分钟分钟分钟拓展练习：（1）A,B,C三匹马在一个环形跑马场上同时同地出发，A每2分钟跑一圈，B每3分钟跑一圈，C每4分钟跑一圈，那么它们多久以后能再同时经过出发点？提示：2,3,4，的最小公倍数解答：=12（2）有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟既响铃又亮灯，则下一次既响铃又亮灯是几点？解答：=180，=3,12+3=15点五年级秋季班第五讲因数与倍数（一）曹威第五讲因数与倍数（一）5.5（3）甲乙丙三人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米，已知操场跑道周长为400米如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后三人可以首次相聚？提示：三人都是追及过程，若三人再次相聚，则应该是相互追上为止，所以我们应该找它们追及时间的最小公倍数。解答：乙追上甲的时间：分钟乙追上丙的时间：分钟甲追上丙的时间：分钟三人再次相聚时间：分钟（4）大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印，求圆形花圃的周长？提示：最近的重合的脚印距起点应该是54和72的最小公倍数216，也就是说每走216厘米就重合一次，每重合一次一共可以出现多少个脚印呢？进而转化为周期问题，看最后60个脚印里能产生几次重合，则周长可求。解答：厘米个脚印个脚印3+4-1=6个脚印个周期厘米补充练习：（1）有一个数被4除余1，被6除余1，求满足要求的最小的自然数？分析：这个数被4除余1，说明应该是4的倍数再加1；同理，这