2012高中数学 3-2第1课时一元二次不等式及其解法精品课件同步导学 新人教A版必修5

•3.2一元二次不等式及其解法•第1课时一元二次不等式及其解法•1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式的模型．•2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的联系，会解一元二次不等式，会设计求解的程序框图．•1.解简单的一元二次不等式是本课的热点．•2.常以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属低、中档题．•1．一元一次不等式：ax＞b，当a＞0时，解集是；当a＜0时，解集是；当a＝0，b＞0时，解集是；当a＝0，b≤0时，解集是.xx＞baxx＜ba∅R•2．一位跳台滑雪运动员在90米级跳台滑雪比赛中想使自己的飞行距离超过68.00米，若他以自身体重从起滑台起滑，经助滑道于台端飞起时的初速度最快为110千米/小时，那么他能否实现自己的目标呢？•1．一元二次不等式•一般地，含有未知数，且未知数的最高次数为的不等式，叫做一元二次不等式．•2．一元二次不等式的解法一个2Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0ax2＋bx＋c＝0(a0)的解集两个不相等实根x1、x2两个相等的实根x1、x2没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}xx≠－b2aR{x|x1xx2}∅∅•1．下列不等式中一元二次不等式的个数为()•①(m＋1)x2－3x＋1＜0；②2x2－x＞2；•③－x2＋5x＋6≥0；④(x＋a)(x＋a＋1)＜0.•A．1B．2•C．3D．4•解析：③④符合一元二次不等式的定义；对于①，当m＋1＝0时，不是一元二次不等式；而②是指数不等式．•答案：B•2．不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是()•A．(－3,2)•B．(2，＋∞)•C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)•D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)•解析：不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞)，故选C.•答案：C•3．设集合A＝{x|(x－1)2＜3x＋7}，则A∩Z中有______个元素．•解析：(x－1)2＜3x＋7⇔x2－5x－6＜0⇔－1＜x＜6，•∴A＝{x|－1＜x＜6}，∴A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}，•∴A∩Z中有6个元素．•答案：6•4．解下列不等式：•(1)x2＋2x－15＞0；(2)x2＞2x－1；(3)x2＜2x－2.•解析：(1)x2＋2x－15＞0⇔(x＋5)(x－3)＞0⇔x＜－5或x＞3，•∴不等式的解集是{x|x＜－5或x＞3}．•(2)x2＞2x－1⇔x2－2x＋1＞0⇔(x－1)2＞0⇔x≠1，•∴不等式的解集是{x∈R|x≠1}．•(3)x2＜2x－2⇔x2－2x＋2＜0.•∵Δ＝(－2)2－4×2＝－4＜0，•∴方程x2－2x＋2＝0无解．•∴不等式x2＜2x－2的解集是∅.•求下列一元二次不等式的解集．•(1)x2－5x6；(2)4x2－4x＋1≤0；•(3)－x2＋7x6；(4)－x2＋6x－90.•由题目可以获取以下主要信息：•①(1)、(2)题二次项系数为正，(3)、(4)二次项系数为负．•②(1)、(3)题对应方程的判别式大于零．(2)、(4)题对应方程的判别式等于零．•解答本题可先将二次项系数化为正，再求对应方程的根，并根据根的情况画出草图，观察图象写出解集．[解题过程](1)由x2－5x6，得x2－5x－60.∵x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或x＝6，∴原不等式的解集为{x|x－1或x6}．(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，∴x＝12.∴4x2－4x＋1≤0的解集为xx＝12.(3)由－x2＋7x6，得x2－7x＋60，而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或x＝6.∴不等式x2－7x＋60的解集为{x|1x6}．•(4)原不等式可化为x2－6x＋90，即(x－3)20，•∴原不等式的解集为∅.•[题后感悟]解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：•(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．•(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．•(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根．•(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．•(5)根据图象写出不等式的解集.•1.求下列不等式的解集．•(1)－2x2＋3x＋20；(2)－2x2＋x－60；•(3)4x2＋4x＋10；(4)x2＋25≤10x.解析：(1)原不等式可化为2x2－3x－20，∵2x2－3x－2＝0的两根是x＝－12或x＝2，∴原不等式的解集为x|x2或x－12.(2)原不等式可化为2x2－x＋60，∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×60，∴函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点．∴观察图象可得，不等式的解集为R.(3)因为4x2＋4x＋1＝(2x＋1)20，所以原不等式的解集为xx≠－12.(4)原不等式可化为x2－10x＋25≤0，即(x－5)2≤0，故原不等式的解集为{x|x＝5}．•解关于x的不等式x2＋ax－2a2＜0.•[规范作答]原不等式可化为(x＋2a)(x－a)＜0•对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a，3分•(1)当a＞0时，x1＞x2，•不等式的解集为{x|－2a＜x＜a}.6分•(2)当a＝0时，原不等式化为x2＜0，无解.8分•(3)当a＜0时，x1＜x2，•不等式的解集为{x|a＜x＜－2a}.10分•综上所述，原不等式的解集为：•a＞0时，{x|－2a＜x＜a}•a＝0时，∅•a＜0时，{x|a＜x＜－2a}12分•[题后感悟]含参数的不等式的解题步骤为：•(1)将二次项系数转化为正数；•(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；•(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)．•另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．•2.解关于x的不等式(a∈R)：•(1)x2－(a＋a2)x＋a3＞0；•(2)ax2－2(a＋1)x＋4＞0.•解析：(1)原不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0可化为(x－a)(x－a2)＞0.•当a＜0时，a＜a2，•所以原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；•当a＝0时，a＝a2＝0，•所以原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；•当0＜a＜1时，a＞a2，•所以原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；•当a＝1时，a＝a2＝1，•所以原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；•当a＞1时，a＜a2，•所以原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}．•(2)(ⅰ)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4＞0，解得x＜2，所以原不等式的解集为{x|x＜2}；•(ⅱ)当a＞0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)＞0，对应方程的两根为x1＝2a，x2＝2.①当0＜a＜1时，2a＞2，所以原不等式的解集为xx＞2a或x＜2；②当a＝1时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；③当a＞1时，2a＜2，所以原不等式的解集为xx＞2或x＜2a.(ⅲ)当a＜0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)＜0，对应方程的两根为x1＝2a，x2＝2，又a＜0，所以原不等式的解集为x2a＜x＜2.•解一元二次不等式解集的一般步骤•(1)化一元二次不等式为标准形式：•ax2＋bx＋c0或ax2＋bx＋c0(a0)；•(2)求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的简图；•(3)根据图象写出不等式的解集．•当一元二次不等式为ax2＋bx＋c≥0或ax2＋bx＋c≤0时，要注意解集的端点．◎解关于x的不等式mxx－31.【错解】原不等式可化为：[m－1x＋3]·(x－3)0当m＝1时，{x|x3}；当m1时，x31－mx3；当m1时，xx3或x－3m－1.•【错因】解含参数的不等式，分类讨论不完整造成的错误．【正解】当m＝1时，原不等式的解集为{x|x3}；当m1时，原不等式的解集为xx3或x31－m；当0m1时，原不等式的解集为x3x31－m；当m＝0时，原不等式的解集为∅；当m0时，原不等式的解集为x31－mx3.