6.5 含绝对值的不等式

6.5含绝对值的不等式基础知识自主学习要点梳理1．两数和与差的绝对值不等式的性质定理：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|推论：|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.2．含绝对值不等式的解法化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式．解法如下：(1)|f(x)|a(a0)⇔；(2)|f(x)|a(a0)⇔；(3)|f(x)|g(x)⇔；(4)|f(x)|g(x)⇔；(5)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，一般可用“零点分段法”求解，对于形如|x－a|＋|x－b|m或|x－a|＋|x－b|m(m为正常数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．－af(x)af(x)－a或f(x)a－g(x)f(x)g(x)f(x)－g(x)或f(x)g(x)基础自测1．设ab0，下面四个不等式中，正确的是()①|a＋b||a|；②|a＋b||b|；③|a＋b||a－b|；④|a＋b||a|－|b|.A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④解析∵ab0，∴a，b同号，∴|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①和④正确．C2．0x5是不等式|x－2|4成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由题意，设A＝{x|0x5}，B＝{x||x－2|4}＝{x|－2x6}，从而有AB，所以A中元素一定是B中的元素，而B中存在A中没有的元素，故0x5⇒|x－2|4，而|x－2|4⇒0x5，所以0x5是|x－2|4的充分不必要条件．D3．(2009·全国Ⅰ理，3)不等式x＋1x－11的解集为()A．{x|0x1}∪{x|x1}B．{x|0x1}C．{x|－1x0}D．{x|x0}解析∵x＋1x－11，∴|x＋1||x－1|，∴x2＋2x＋1x2－2x＋1，∴x0，∴不等式的解集为{x|x0}．D4．(2008·四川文，5)不等式|x2－x|2的解集为()A．(－1,2)B．(－1,1)C．(－2,1)D．(－2,2)解析∵|x2－x|2，∴－2x2－x2，∴x2－x－2，①x2－x2.②由①x2－x＋20恒成立得x∈R，由②x2－x－20的解集为(－1,2)∴原不等式的解集为(－1,2)．A5．不等式|x＋log3x||x|＋|log3x|的解集为()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－∞，＋∞)解析由|x＋log3x||x|＋|log3x|得xlog3x0，又x0，∴log3x0，∴0x1.故选A.A题型分类深度剖析题型一含绝对值不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)1|x－2|≤3；(2)|2x＋5|7＋x；(3)|x－1|＋|x＋2|5.思维启迪(1)利用公式或平方法转化为不含绝对值的不等式．(2)利用公式法转化为不含绝对值的不等式．(3)不等式的左边含有两个绝对值符号，要同时去掉这两个绝对值符号，可以采用“分区间讨论法”．此题亦可利用绝对值的几何意义去解．解(1)方法一原不等式等价于不等式组|x－2|1|x－2|≤3，即x1，或x3－1≤x≤5，解得－1≤x1或3x≤5，所以原不等式的解集为{x|－1≤x1，或3x≤5}．方法二原不等式可转化为：①x－2≥01x－2≤3或②x－201－(x－2)≤3，由①得3x≤5，由②得－1≤x1，所以原不等式的解集是{x|－1≤x1，或3x≤5}．方法三原不等式的解集是1(x－2)2≤9的解集，即(x－2)2≤9(x－2)21，解得－1≤x≤5x1，或x3，∴－1≤x1或3x≤5.∴原不等式的解集是{x|－1≤x1，或3x≤5}．(2)由不等式|2x＋5|7＋x，可得2x＋57＋x或2x＋5－(7＋x)，整理得x2，或x－4.∴原不等式的解集是{x|x－4，或x2}．(3)方法一分别求|x－1|，|x＋2|的零点，即1，－2.由－2,1把数轴分成三部分：x－2，－2≤x≤1，x1.当x－2时原不等式即1－x－2－x5，解得－3x－2；当－2≤x≤1时，原不等式即1－x＋2＋x5，因为35恒成立，则－2≤x≤1；当x1时，原不等式即x－1＋2＋x5，解得1x2.综上，原不等式的解集为{x|－3x2}．方法二不等式|x－1|＋|x＋2|5的几何意义为数轴上到－2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而－2,1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2,1的距离在－2,1外部的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－32＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为{x|－3x2}．探究提高(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．其方法主要有：利用绝对值的意义；利用公式；平方、分区间讨论等．(2)利用平方法去绝对值符号时，应注意不等式两边非负才可进行．(3)零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．知能迁移1设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．解(1)令y＝|2x＋1|－|x－4|，则y＝－x－5x≤－123x－3－12x4x＋5(x≥4)，作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象，如图所示，它与直线y＝2的交点为(－7,2)和53，2.所以|2x＋1|－|x－4|2的解集为(－∞，－7)∪53，＋∞.(2)由函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象可知，当x＝－12时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值－92.题型二含绝对值不等式的证明【例2】已知|a|1，|b|1，求证：|a＋b|＋|a－b|2.思维启迪分(a＋b)(a－b)≥0和(a＋b)(a－b)0两类讨论．证明(1)当(a＋b)(a－b)≥0时，有|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|2；(2)当(a＋b)(a－b)≤0时，有|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|2.综合(1)、(2)可知|a＋b|＋|a－b|2.探究提高(1)此题可以用平方法使两个绝对值符号“合二为一”．(2)证明含有绝对值不等式的方法有综合法、分析法、反证法、放缩法、三角代换法等．知能迁移2已知函数f(x)＝1＋x2，设a、b∈R且a≠±b.求证：|f(a)－f(b)||a－b|.证明|f(a)－f(b)|＝|1＋a2－1＋b2|＝|a2－b2|1＋a2＋1＋b2|a2－b2||a|＋|b||a2－b2||a＋b|＝|a－b|.即|f(a)－f(b)||a－b|.题型三含绝对值不等式的综合问题【例3】(12分)已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义域为[－1,1]，且|f(x)|的最大值为M.(1)证明：|1＋b|≤M；(2)证明：M≥12；(3)当M＝12时，试求出f(x)的解析式．思维启迪由|f(x)|在[－1,1]上的最大值为M建立不等式M≥|f(1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(－1)|是解决问题的关键．解题示范(1)证明∵M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|，∴M≥|1＋b|.[4分](2)证明依题意，M≥|f(－1)|，M≥|f(0)|，M≥|f(1)|，又f(－1)＝|1－a＋b|，|f(1)|＝|1＋a＋b|，|f(0)|＝|b|，∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)|＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋b|≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2，∴M≥12.[8分](3)解当M＝12时，|f(0)|＝|b|≤12，∴－12≤b≤12①同理－12≤1＋a＋b≤12②－12≤1－a＋b≤12③②＋③得－32≤b≤－12④由①④得b＝－12，当b＝－12时，分别代入②③得－1≤a≤00≤a≤1⇒a＝0，因此f(x)＝x2－12.[12分]探究提高证明含有绝对值的不等式，其思路有两种：(1)恰当运用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；(2)把含有绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法进行证明．知能迁移3设f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1，求证：|f(2)|≤8.证明方法一∵当|x|≤1时，|f(x)|≤1，∴|f(0)|≤1，即|c|≤1.又|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，∴|a＋b＋c|≤1，|a－b＋c|≤1.又∵|a＋b＋c|＋|a－b＋c|＋2|c|≥|a＋b＋c＋a－b＋c－2c|＝|2a|，且|a＋b＋c|＋|a－b＋c|＋2|c|≤4，∴|a|≤2.∵|2b|＝|a＋b＋c－(a－b＋c)|≤|a＋b＋c|＋|a－b＋c|≤2，∴|b|≤1，∴|f(2)|＝|4a＋2b＋c|＝|f(1)＋3a＋b|≤|f(1)|＋3|a|＋|b|≤1＋6＋1＝8，即|f(2)|≤8.方法二∵当|x|≤1时，|f(x)|≤1，∴|f(0)|≤1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1.由f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，f(0)＝c知a＝f(1)＋f(－1)－2f(0)2，b＝f(1)－f(－1)2，c＝f(0)．∴f(2)＝|4a＋2b＋c|＝|2f(1)＋2f(－1)－4f(0)＋f(1)－f(－1)＋f(0)|＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)|≤3×1＋1×1＋3×1＝7≤8.思想方法感悟提高方法与技巧1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|＞m或|x－a|＋|x－b|＜m(m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．2.含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可利用重要不等式|a＋b|≤|a|＋|b|及推广形式|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|进行放缩．3.对于一般含绝对值不等式不好入手时，可采用分析法．失误与防范1．应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定注意等号成立的条件．2．利用函数图象解决不等式问题，也是非常重要的一种思想，因此，必须掌握常用的函数图象，如y＝|f(x)|，y＝f(|x|)．定时检测一、选择题1．设ab0，a，b∈R，则下列不等式中正确的是()A．|a＋b||a－b|B．|a－b||a|＋|b|C．|a＋b||a－b|D．|a－b|||a|－|b||解析方法一特殊值法取a＝1，b＝－2，则满足ab＝－20，这样有|a＋b|＝|1－2|＝1，|a－b|＝|1－(－2)|＝3，|a|＋|b|＝1＋2＝3，||a|－|b||＝|1－2|＝1，∴只有选项C成立，而A、B、D都不成立．方法二由ab0得a，b异号，易知|a＋b||a－b|，|a－b|＝|a|＋|b|，|a－b|||a|－|b||，∴选项C成立，A、B、D均不成立．C2．若不等式|8x＋9|7和不等式ax2＋bx2的解集相等，则()A．a＝－8，b＝－10B．a＝－4，b＝－9C．a＝－1，b＝9D．a＝－1，b＝2解析据题意可得|8x＋9|7⇒－2x－14，故由x|－2x－1