平行关系习题课+

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行两个平面平行的判定定理：线不在多，重在相交符号表示：ａ，ｂ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ图形表示：abP复习回顾线面平行面面平行1.判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）若平面内的两条直线分别与平面平行，则与平行；（2）若平面内有无数条直线分别与平面平行，则与平行；（3）平行于同一直线的两个平面平行；（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面．×××××例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面C1BD分析：只要证一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可．面面平行线面平行线线平行线面平行面面平行线面平行典型例题：例1如图:已知正方体求证:111//.BADBCD平面平面1111.ABCDABCD证明:∵为正方体∴D1C1//AB，且D1C1=AB，∴D1C1AB为平行四边形，则D1A//C1B.1111DCBAABCD1111DACBDCBCBD又平面，平面，1111,DADBD又所以平面AB1D1//平面C1BD.所以，D1A//平面C1BD，同理，D1B1//平面C1BD，D1C1A1ABCDB1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，(1)求证E、F、D、B四点共面（2）求证：平面AMN//平面EFDB。线面平行面面平行线线平行变式一A1B1EABCDD1C1FMN已知:正方体变式二ABCDA1D1C1B11111DCBAABCD,MNP、、分别是棱11111CCBCCD、、的中点.//MNP平面1.求证:平面2.求三棱锥D-MNP的体积ABD11PMN变式三CCBBMNAMNACAABNMaDCBAABCD1111111111.,,平面求证：上的点，，分别为，棱长为在正方体//jMN52第页变式四11111111112)1(,,,,BBDDEFGBBDDEGSCCDBCGFEDBSDCBAABCD平面）平面（平面求证：的中点，和分别为的中点为，在正方体////EFGMS53第页变式五的截面周长为的中点，过，为，正方体的棱长为变式平面求证：的中点，和分别为，在正方体FECAADAFEEFPQBCBBDDADABQPFEDCBAABCD,,,46)1(,,,,,11111111111//FEQPEF练习1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P,Q,R,分别为A1A,AB,AD的中点求证：平面PQR∥平面CB1D1.PQR分析：连结A1B，PQ∥A1BA1B∥CD1故PQ∥CD1同理可得，……例2、如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC与C1D1的中点。求证：EF//平面BDD1B1.C1D1B1A1CDABFEMNC1D1B1A1CDABFEM思考题：如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC与C1D1的中点。求证：EF//平面BDD1B1.C1D1B1A1CDABFEG另解：取B1C1中点G，连结FG，EG，若可证得面EFG∥面BDD1B1则推出：EF∥面BDD1B1变式1：如图，在长方体中，求证：平面平面.''''ABCDABCD'//CDB''ABDABDCD'C'B'A'证明：//ABDC//''DC''ABCD是平行四边形'//'BCAD'AD''ABD平面'BC''ABD平面又'//BC''ABD平面'//CD''ABD平面同理：'''BCCDC''ABD平面平面'//CDB变式2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P,Q,R,分别为A1A,AB,AD的中点。求证：平面PQR∥平面CB1D1.PQR分析：连结A1B，PQ∥A1BA1B∥CD1故PQ∥CD1同理可得，……1.面面平行通常可以转化为线面平行来处理.基本思路是:证明面面平行的一般方法：线线平行线面平行面面平行2.应用判定定理判定面面平行的关键是:找平行线.常用的依据有：①平行四边形的性质；②三角形或梯形的中位线定理.③平行线的传递性④平行线分线段成比例1、如图：三棱锥P-ABC,D,E,F分别是棱PA，PB，PC中点，求证：平面DEF∥平面ABC。PDEFABC2、如图，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，求证：平面MNG∥平面ACD。BACDPDPEPFPAPBPCN·M··G你能求△MNG与△ACD的面积比吗？例2（2）在三棱锥B-ACD中,点M、N、G分别△ABC、△ABD、△BCD的重心,求证:平面MNG//平面ACDE证明:连接AN,交BD于点E由已知得点E是边BD的中点连接CE,则CE必经过点G∵点N、G分别是△ABD和△BCD的重心，∴NE：NA=1：2GE：GC=1：2∴NG//AC又NG平面ACDAC平面ACD∴NG//平面ACD同理MG//平面ACD又NGMG=G,NG平面MNG,MG平面MNG,∴平面MNG//平面ACD.说明：重心：三角形各边中线的交点（分中线1:2）垂心：三角形各边高线的交点内心：三角形内角平分线的交点（同时也是三角形内切圆的圆心）外心：三角形各边中垂线的交点（同时也是三角形外接圆的圆心）中心：轴对称图形，对称轴的交点2.应用判定定理判定面面平行时应注意:两条相交直线小结：1.平面与平面平行的判定：(1)运用定义；(2)运用判定定理：线线平行线面平行面面平行3.应用判定定理判定面面平行的关键是找平行线方法一：三角形的中位线定理；方法二：平行四边形的平行关系。例2.如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点.BCADEFGH(3)你能说出图中满足线面平行位置关系的所有情况吗？(1)E、F、G、H四点是否共面？(2)试判断AC与平面EFGH的位置关系；BCADEFGH解：(1)E、F、G、H四点共面。∵在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点.∴EH∥BD且1GF=BD2同理GF∥BD且1EH=BD2EH∥GF且EH＝GF∴E、F、G、H四点共面。（2）AC∥平面EFGHBCADEFGH（3）由EF∥HG∥AC，得EF∥平面ACDAC∥平面EFGHHG∥平面ABC由BD∥EH∥FG，得BD∥平面EFGHEH∥平面BCDFG∥平面ABD已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD的中点BACDEFPQR求证：PQ∥平面BCE。思路1：在平面BCE内找PQ平行线。思路2：过PQ构造与平面BCE平行的平面。课后思考：证明面面平行的方法有：1．面面平行的定义；2．面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；3．利用垂直于同一条直线的两个平面平行；4．两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；5．利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．推论1：如果一个平面内的两条相交直线分别平行与另一个面的两条直线那么这两个面平行。思考1？平行公理：平行与同一条直线的两条直线互相平行。那么面和面之间是否也有这样的关系？推论2：平行于同一面的两个面互相平行。思考2？如果两个平面同时和两条一面直线平行，那么这两个平面平行。（推论2）思考3：垂直于同一直线的两个平面平行？3,,,,//D.(1)MF(2)//MNFABCDADEFMNGABADEFBEBDE例、四边形与四边形均为平行四边形，分别为的中点求证：平面平求证面：平面DABCFEMNGNMFEDCBAH变式如图所示，平面ABCD∩平面EFCD=CD，M、N、H分别是DC、CF、CB的中点，求证:平面MNH//平面DBF2.三.课堂过关的中点，、分别为、证明：PDPCFE的中位线为PCDEFCDEF//CDAB//又ABEF//PABABPABEF平面，平面而PABEF平面//PABEG平面同理可证//EFGEGEFGEF平面，平面又EEGEF且EFGPAB平面平面//线线平行线面平行面面平行4,,,,(1):::.//MNQABCDABCDMNQAPBDPDPMMABNNDPQQDBC例、四棱锥P-中，底面为平行四边形，点分别为上平，且求证：平面P面jPACDQMN4,,,,(1):::.//MNQABCDABCDMNQAPBDPDPMMABNNDPQQDBC例、四棱锥P-中，底面为平行四边形，点分别为上平，且求证：平面P面三.课堂过关111//////////EFBEFCAFDEDEACFBEACFDEBACF分析：连结，证明，平面，进而证明平面，从而平面平面，练习2:已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点，ABCDA1B1C1D1PQ且PQ//面AB1，则线段PQ长为．练习2:已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点，解析：ABCDA1B1C1D1PQ连结AB1、AD1，∵点P是面AA1D1D的中心，∵PQ//面AB1，∴PQ//AB1，且PQ//面AB1，则线段PQ长为．22∴PQ是△AB1D1的中位线，⑴判定定理．线线平行线面平行⑵性质定理．线面平行线线平行1．直线与平面平行的性质定理2．判定定理与性质定理展示的数学思想方法：3．要注意判定定理与性质定理的综合运用a∥b．ab性质定理的运用．课堂小结：Ｐ62练习：如图，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC、BD与平面α相交于C、D，求证：AC=BD.ADCBαβ•例5:如图所示,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.•(1)求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH.•(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.•变式训练3:如图,已知A､B､C､D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC∩α=H,•(1)求证:EFGH是一个平行四边形;•(2)若AB=CD=a,试求四边形EFGH的周长.•(1)证明:AB∥α,AB平面ABC,平面ABC∩α=EHAB∥EH,同理AB∥FGEH∥FG,同理EF∥GHEFGH是平行四边形.(2)解:∵AB∥EH,∴∵AB=CD=a,∴EH+EF=a,∴平行四边形EFGH的周长为2a..,EHCEEFAEABCACDAC同理1,1.CEAEEHEFCAACABCD又例6：已知异面直线AB、CD都平行于平面且AB、CD在两侧,若AC、BD与分别交于Ｍ、Ｎ两点，NDBNMCAMBCDMNP求证：A方法１例6：已知异面直线AB、CD都平行于平面且AB、CD在两侧,若AC、BD与分别交于Ｍ、Ｎ两点，NDBNMCAMBCDMNP求证：A方法２