余角和补角

余角和补角教学目标认识一个角的余角和补角,并会求一个角的余角和补角．掌握余角和补角的性质，并能用它解决相关问题．通过余角、补角性质的推导和应用，初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化.初步接触和体会演绎推理的方法和表述，进一步提高学生的抽象概括能力，识图能力，发展空间观念.认识并理解方位角，能画出方位角所表示方向的射线，并会在实际问题中应用它确定一个物体的位置，进一步体会数形结合的方法.教学重点互余、互补的概念及其性质．教学难点通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质．思考如图，∠1和∠2有什么关系？如图，∠3和∠4有什么关系？∠3+∠4=180°一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了几个角？思考：∠1和∠2有什么数量关系？∠3和∠4呢？∠1+∠2=90°∠3+∠4=180°如左图所示，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2．这个问题可以简单地表示为右图．其中∠EDC=90º，那么各个角与∠1有什么关系？有的角与∠1的和等于90º，例如（）有的角与∠1的和等于180º，例如（）∠ADC∠ADF思考如图所示，这座塔的其中两堵墙围一个角，我们如何去测量这个角的大小呢？C余角和补角的概念如果两个角的和等于90º（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角．如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．∠1+∠2=90°∠1和∠2互余，即：∠1是∠2的余角∠2是∠1的余角∠1+∠2=180°∠1和∠2互补，即：∠1是∠2的余角∠2是∠1的余角注意事项1．定义中的“互为”是什么意思？即每一个角都是另一个角的余角（补角）2．把下图中∠1与∠ADF分离并多次变换位置，如图，这两角还是互为补角吗？补角和余角都是表示角度的大小关系，与位置无关．还是补角添加动态课件练习1．若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2=_______．2．∠1=90º－∠2,则∠1与∠2的关系为_______．180°互余图中给出的各角中，哪些互为余角？练习练习图中给出的各角中，哪些互为补角？练习∠α（∠α90°）的余角是_________，它的补角是________．90°－α180°－α这也是表示一个角α的余角和补角的方法思考：同一个锐角的补角比它的余角大多少度？大90°练习补全下表：5°32°45°77°62°23′∠α∠α的余角∠α的补角85°58°45°13°27°37′175°148°135°103°117°37′练习∠1=120°,∠1与∠2互补,∠3与∠2互余，则∠3=_______．30°练习如右图：O是直线AB上一点，OC是∠AOB的角平分线．①∠AOD的余角是__________；②∠AOD的补角是__________；③∠DOB的补角是__________．∠COD∠BOD∠AOD练习（1）钝角有余角吗？（2）直角有余角吗？没有没有练习判断：（1）一个角的余角一定是锐角．（2）一个角的补角一定是钝角．（3）两个角互补，那么这两个角中，必定一个是锐角，另一个是钝角．例题若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数．解：设这个角是x°，则它的补角是（180°-x°）,余角是(90°-x°)．根据题意得：（180°-x°）=4(90°-x°)解得：x=60答：这个角的度数是60°．总结：直接求解有困难，就要想到列方程．如何利用列方程的技巧解决与余角和补角有关的角度计算问题？余角和补角之列方程练习∠α的余角是它的3倍，∠α是多少度？答案：22.5°．练习一个角的余角比这个角的补角的还小10°，求这个角的余角及这个角的补角的度数．答案：这个角是60°，它的余角是30°，补角是120°．探究(1)已知∠1与∠2，∠3都互为补角．那么∠2和∠3的大小有什么关系？由∠1与∠2和∠3都互为补角，那么∠2＝180º－∠1，∠3＝180º－∠1，所以∠2＝∠3.探究(2)已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补．若∠1＝∠3，那么∠2和∠4相等吗？为什么？由∠1与∠2互补，得∠1＋∠2＝180°，所以∠2＝180º－∠1.由∠3与∠4互补，得∠3＋∠4＝180º,所以∠4=180º－∠3.又因为∠1＝∠3，180º－∠1＝180º－∠3，所以∠2＝∠4.添加动态课件归纳补角的性质同角（等角）的补角相等．对于余角是否也有类似的性质？探究(1)已知∠1与∠2，∠3都互为余角．那么∠2和∠3的大小有什么关系？由∠1与∠2和∠3都互为余角，那么∠2＝90º－∠1，∠3＝90º－∠1，所以∠2＝∠3.探究(2)已知∠1与∠2互余，∠3与∠4互余．若∠1＝∠3，那么∠2和∠4相等吗？为什么？由∠1与∠2互余，得∠1＋∠2＝90°，所以∠2＝90º－∠1.由∠3与∠4互余，得∠3＋∠4＝90º,所以∠4=90º－∠3.又因为∠1＝∠3，90º－∠1＝90º－∠3，所以∠2＝∠4.添加动态课件归纳余角的性质同角（等角）的余角相等．什么是互为余角？什么是互为补角？余角和补角有什么性质？余角和补角例子如图，A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？例子解：因为A，O，B在同一直线上,所以∠AOC和∠BOC互为补角.又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC∠BOC，所以∠COD+∠COE＝∠AOC+∠BOC＝90°所以，∠COD和∠COE互为余角，同理，∠AOD+∠BOE，∠AOD+∠COE，∠COD+∠BOE也互为余角.＝(∠AOC+∠BOC)练习如图，直线CD经过点O，且OC平分∠AOB．试判断∠AOD与∠BOD的大小关系，并说明理由．答：∠AOD=∠BOD∵∠AOD与∠AOC互补，∠BOD与∠BOC互补∴∠AOC=∠BOC∴∠AOD=∠BOD（等（同）角的补角相等）双直角模型如图，∠AOC=∠BOD=90°．请问∠1与∠3相等吗？并说明理由．因为∠1与∠2互余，∠3与∠2互余，所以∠1=∠3．追问，∠DOC和∠AOB有什么关系？∠DOC+∠AOB=∠2+∠1+∠2+∠3=90°+90°=180°所以∠DOC和∠AOB互补双直角模型不重叠的角相等重叠的角与大角互补∠1=∠3∠COD+∠AOB=180°什么是双直角模型？双直角模型有什么结论？角度计算之双直角模型练习O为直线AB上的一点，OD平分∠AOB，∠COE=90°，则∠BOC=_______，∠COD=________．∠DOE∠AOE方位角一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度来表示方向，这就是方位角．方位角在航行、测绘等工作中经常用到.北偏东60°注意：南北在前东西在后什么是方位角？怎么用方位角表示方向？方向角例题如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60º的方向上，同时，在它北偏东40º、南偏西10º、西北(即北偏西45º)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D．仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线．练习如图所示，表示OA，OB，OC，OD四条线的方向角．OA：OB：OC：OD：北偏东30°南偏东55°南偏西70°北偏西45°练习如图，下列说法中错误的是（）A．OD的方向是北偏东30°B．OC的方向是南偏东60°C．OB的方向是西南方向D．OA的方向是北偏西60°D练习如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东50°方向上有一艘船，同时从B地发现这艘船在它的北偏东30°方向，试在图中确定这艘船的位置．CC点即为所求练习如图，OA表示北偏东32°方向线，OB表示南偏东43°方向线，则∠AOB等于多少度？答案：105°1．图中给出的各角中，哪些互为余角，哪些互为补角？课本练习课本练习2．一个角是70°39′，求它的余角和补角．课本练习3．∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？课本练习4．一个角是钝角，它的一半是什么角？总结对应图形数量关系性质互为余角互为补角∠1+∠2=90°∠1+∠2=180°同角或等角的余角相等同角或等角的补角相等这节课我们学会了什么？不重叠的角相等重叠的角与大角互补∠1=∠3∠COD+∠AOB=180°总结双直角模型一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度来表示方向，这就是方位角．方位角在航行、测绘等工作中经常用到.北偏东60°注意：南北在前东西在后总结复习巩固1.如果把钟表的时针在任意时刻所在位置作为起始位置，那么时针旋转出一个平角及一个周角，至少各需要多长时间？复习巩固2.凭你的感觉画出30°，45°，90°，120°，135°的角，再用量角器量一量，你画出的准确度如何？复习巩固3.计算：（1）48°39'+67°31'；（2）21°17'×5.复习巩固4.如果∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1_____∠3；如果∠1＞∠2，∠2＞∠3，则∠1_____∠3.复习巩固5.如图，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且∠DBC=∠ECB=31°，求∠ABC和∠ACB的度数，它们相等吗？复习巩固6.按图填空：（1）∠AOB＋∠BOC=______;（2）∠AOC＋∠COD=______;（3）∠BOD-∠COD=______;（4）∠AOD-∠______=∠AOB.复习巩固7.如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？复习巩固8.按照上北下南，左西右东的规定画出表示东南西北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线。（1）北偏西30°；（2）南偏东60°；（3）北偏东15°；（4）西南方向（南偏西45°）综合运用9.如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，（1）如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？（2）如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？综合运用10.如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？综合运用11.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠a与∠b互余？在哪种摆放方式中∠a与∠b互补？在哪种摆放方式中∠a与∠b相等？综合运用12.如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东30°方向，试在图中确定这艘船的位置．综合运用13.（1）互余且相等的两个角，各是多少度？（2）一个锐角的补角比这个角的余角大多少度？拓广探索14.画几个不同的四边形，使每个四边形中都有30°，90°，105°的角，量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？拓广探索15.（1）图(1)中，射线AD,BE,CF构成∠1，∠2，∠3，并计算∠1+∠2+∠3.画出几个类似的图，计算相应的三个角的和，你有什么发现？拓广探索（2）类似地，量出（2）中∠1，∠2，∠3，∠4，并计算∠1+∠2+∠3+∠4.再换几个类似的图形试试，你有什么发现？综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？复习巩固1.说出下列图形的名称.复习巩固2.如图，从上往下看A、B、C、D、E、F六个物体，分别得到a、b、c、d、e、f哪个图形？把上下两行中对应的图形与物体连接起来.复习巩固3.如图，分别从正面、左面、上面观察这些立体图形，各能得到什么平面图形？复习巩固4.如下页图，右面哪一个图形是左面正方体的展开图？复习巩固5.如图，将甲乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺是直的吗？为什么?复习巩固6.中一张零件图中，已知AD=76mm,BD=70mm,CD=19mm,求AB和BC的长。复习巩固7.判断题：（1）锐角的补角一定是钝角；（）（2）一个角的补角一定大于这个角；（）（3）如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等（）（4）锐角和钝角互补。（）复习巩固8.已知∠a和∠b互为补角，并且∠b的一半比∠a小30°，求∠a,∠b.综合运用9.如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A,C嵌有一圈路径最短的金属丝