数列的综合应用知识点总结、经典例题解析、高考练习题带答案

1数列的综合应用【考纲说明】1．会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和；2．能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题；3.理解数列作为函数的特性，能够抽象出数列的模型；【知识梳理】考点一：通项公式的求解技巧1.归纳、猜想数列的通项.2.迭代法求一阶递推式的通项公式.3.用等差（等比）数列的通项公式求数列的通项公式.4.已知数列{an}前n项和Sn，则11nnnSSSa21nn.5.已知an-an-1=f(n)(n2),则可用叠加法求an.6.已知anan-1=f(n)(n2),则可用叠乘法求an.7.已知数列{an}前n项之积Tn，一般可求Tn-1，则an=111n2nnTnTT.8.已知混合型递推式f(an,Sn)=0,可利用an=Sn-Sn-1(n2)将关系式转化为只含有an或Sn的递推式,再求an或先间接求出Sn再求出an.9.已知数列{an}的递推关系，研究它的特点后，可以通过一系列的恒等变形如:倒数、通分、约分、裂项、等式两边同时乘以或除以同一个式子、因式分解、平方、开方、配方、取对数、辅助数列、待定系数等等构造得出新数列{f(an)}为等差或等比数列.例如:形如an+1=Aan+f(n)或an+1=Aan+qn,均可以两边同时除以An+1后进行求解,也可以通过待定系数法将其转化为等比数列求解;形如an＝an-1kan-1+b的递推数列可以两边同时倒数来求通项.考点二：数列求和的技巧一、公式法1、等差数列的前n项和公式22)1(2)(11dnnnaaanSnn2、等比数列的前n项和公式)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、常用几个数列的求和公式（1）)1(213211nnnkSnkn（2）)12)(1(61321222212nnnnkSnkn（3）2333313)]1(21[321nnnkSnkn二、错位相减法用于求数列}{nnba的前n项和，其中}{na，}{nb分别是等差数列和等比数列。三、裂项相消法适用于{1anan+1}其中{an}是各项不为0的等差数列。即:1anan+1=1d(1an-1an+1),特别:111)1(1nnnn;)211(21)2(1nnnn.nnnnan111四、倒序相加法推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa。五、分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。考点三：数列的综合应用一、数列与函数的综合二、等差与等比数列的综合3三、数列的实际应用数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合【经典例题】【例1】(2011年高考天津卷理科4)已知na为等差数列，其公差为-2，且7a是3a与9a的等比中项，nS为na的前n项和,*nN,则10S的值为A．-110B．-90C．90D．110【解析】D【例2】(2011年高考江西卷理科5)已知数列}{na的前n项和nS满足:mnmnSSS,且11a,那么10a()A.1B.9C.10D.55【解析】A【例3】（2008年江西省高考题）数列{an}的通项公式是an=11nn，若前n项和为10，则项数为（）A、11B、99C、120D、121【解析】C【例4】（2008安徽）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*，其中a，c为实数，c≠01.求数列{an}的通项公式；2.设a=21，c=21，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn。【解析】（1）∵an+1-1=c（an-1）∴当a≠1时，{an-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列∴an-1=（a-1）cn-1，即an=（a-1）cn-1+1当n=1时，an=a仍满足上式。∴数列{an}的通项公式为an=（a-1）cn-1+1（n∈N*）（2）由（1）得bn=n（1-a）cn-1=n（21）n，Sn=b1+b2+…+bn=21+2（21）2+…+n（21）n①21Sn=（21）2+2（21）3+…+（n-1）（21）n+n（21）n+1②∴①-②得21Sn=21+（21）2+…+（21）n-n（21）n+1∴Sn=1+21+（21）2+…+（21）n-1-n（21）n=2[1-（21）n]-n（21）n4∴Sn=2-（2+n）（21）n【例5】（2008浙江省）已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn=2np+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列，求：（1）P，q的值；（2）数列{xn}前n项和Sn的公式。【解析】（1）由x1=3，得2p+q=3又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x5=2x4，得3+25p+5q=25p+8q解得p=1，q=1（2）Sn=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）=2n+1-2+2)1(nn【例6】(2011年福建理16)已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=133。（I）求数列{an}的通项公式；（II）若函数()sin(2)(0,0)fxAxAp在6x处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。【解析】（I）由313(13)13133,,3133aqS得解得11.3a所以12133.3nnna（II）由（I）可知233,3.nnaa所以因为函数()fx的最大值为3，所以A=3。因为当6x时()fx取得最大值，所以sin(2)1.6又0,.6故所以函数()fx的解析式为()3sin(2)6fxx【例7】(2011年全国新课标卷)等比数列na的各项均为正数，且212326231,9.aaaaa(1)求数列na的通项公式.5(2)设31323loglog......log,nnbaaa求数列1nb的前项和.【解析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由23269aaa得32349aa所以219q。由条件可知a0,故13q。由12231aa得12231aaq，所以113a。故数列{an}的通项式为an=13n。（Ⅱ）31323nloglog...lognbaaa(12...)(1)2nnn故12112()(1)1nbnnnn12111111112...2((1)()...())22311nnbbbnnn所以数列1{}nb的前n项和为21nn【例8】(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列{}na的首项1aa(aR),设数列的前n项和为nS，且11a，21a，41a成等比数列（Ⅰ）求数列{}na的通项公式及nS（Ⅱ）记1231111...nnASSSS，212221111...nnBaaaa，当2n时，试比较nA与nB的大小.【解析】（Ⅰ）222141112214111()(3)aaaadaadaaa1daa则1111(1)(1)naandananana，1(1)(1)(1)222nnnnnnnSandanaa6（Ⅱ）1231111...nnASSSS1111...122334(1)2222nnaaaa21211223aa2134a2121(1)(1)1annan因为22nnaa，所以2112221111...nnBaaaa11()12112na21(1)2na当2n时，201221nnnnnCCCCn即111112nn；所以当0a时，nnAB；当0a时，nnAB.【课堂练习】1.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{}na的前n项和为nS.若4a是37aa与的等比中项,832S,则10S等于A.18B.24C.60D.902.（2010江西理数）等比数列na中，12a，8a=4，函数128()()()fxxxaxaxa，则'0f（）A．62B.92C.122D.152(1)（2010湖北文数）7.已知等比数列{ma}中，各项都是正数，且1a，321,22aa成等差数列，则91078aaaaA.12B.12C.322D3224.（2010福建理数）设等差数列na的前n项和为nS,若111a,466aa,则当nS取最小值时,n等于A．6B．7C．8D．95错误!未指定书签。.（2013年福建（理））已知等比数列{}na的公比为q,记(1)1(1)2(1)...,nmnmnmnmbaaa*(1)1(1)2(1)...(,),nmnmnmnmcaaamnN则以下结论一定正确的是()7A.数列{}nb为等差数列,公差为mqB.数列{}nb为等比数列,公比为2mqC.数列{}nc为等比数列,公比为2mqD.数列{}nc为等比数列,公比为mmq6错误!未指定书签。．（2013年重庆（理））已知na是等差数列,11a,公差0d,nS为其前n项和,若125,,aaa成等比数列,则8_____S7错误!未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知等比数列na是递增数列,nS是na的前n项和,若13aa，是方程2540xx的两个根,则6S____________.8、（2009年全国卷）设等差数列{na}的前n项和为ns，公比是正数的等比数列{nb}的前n项和为nT，已知1133331,3,17,12,},{}nnababTSb求{a的通项公式。9、（2011浙江卷）已知公差不为0的等差数列}{na的首项为)(Raa，且11a，21a，41a成等比数列．（Ⅰ）求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）对*Nn，试比较naaaa2322221...111与11a的大小．10、（2010年山东卷）已知等差数列na满足：73a，2675aa，na的前n项和为nS（Ⅰ）求na及nS；8（Ⅱ）令112nnab（*Nn），求数列nb的前n项和为nT。11.（2013年湖北卷（理））已知等比数列na满足:2310aa,123125aaa.(I)求数列na的通项公式;(II)是否存在正整数m,使得121111maaa?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.12错误!未指定书签。．（2013年山东（理））设等差数列na的前n项和为nS,且424SS,221nnaa.(Ⅰ)求数列na的通项公式;(Ⅱ)设数列nb前n项和为nT,且12nnnaT(为常数).令2nncb*()nN.求数列nc的前n项和nR.9【课后作业】1.（2009重庆卷文）设na是公差不为0的等差数列，12a且136,,aaa成等比数列，则na的前n项和nS=（）A．2744nnB．2533nnC．2324nnD．2nn2.（2010安徽理数）设na是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为,,XYZ，则下列等式中恒成立的是A、2XZYB、YYXZZXC、2YXZD、YYXXZX错误!未指定书签。3．（2013辽宁）下面是关于公差0d的等差数列na的四个命题:1:npa数列是递增数列；2:npna数列是递增数列；3:nap