第1-4节 n阶行列式的定义

1物电学院计算物理教研室线性代数LinearAlgebra2重要性线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性与逻辑性，是高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课，也是硕士研究生入学全国统一考试中必考的数学课程之一。广泛性由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。尤其在计算机日益普及的今天，该课程的地位与作用更显得重要。主要内容本课程主要讲授行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换、向量组的线性相关性、矩阵的相似变换、二次型等共六章内容教学要求通过教学，使大家掌握该课程的基本理论与方法，培养创造性分析、思维和逻辑推理能力，培养解决实际问题的能力，并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。Summarize考试方法期末总评成绩满分100分,按如下三部分折算：1)平时成绩：20%(作业+考勤)总共10次作业，每次4道计算题。缺交一次扣4分，迟交一次扣2分；课堂点名共10次，缺席一次扣4分，迟到一次扣2分2)期中考试：20%3)期末考试：60%参考书目1、杨荫华，线性代数，北京大学出版社，20042、陈龙玄，钟立敏线性代数简明教程，中国科学技术大学出版社，19973、线性代数,同济大学应用数学系编，高等教育出版社，20054、王中良,线性代数解题指导-概念、方法与技巧，北京大学出版社，20055、线性代数附册学习辅导与习题选解，同济大学应用数学系编，高等教育出版社，2004总目录第一章行列式（6课时）§1.二、三阶行列式的定义§2全排列及其逆序数§3n阶行列式的定义§4对换§5行列式的主要性质§6行列式按行(列)展开§7克拉默法则第二章矩阵及其运算（5课时）§1矩阵§2矩阵的运算§3逆矩阵§4矩阵的分块第三章矩阵的初等变换与线性方程组（5课时）§3.1矩阵的初等变换§3.2初等矩阵§3.3矩阵的秩§3.4线性方程组的解第四章向量组的线性相关性（8课时）§4.1向量组及其线性组合§4.2.向量组的线性相关性§4.3向量组的秩§4.4线性方程组的解的结构§4.5向量空间第五章相似矩阵及二次型（8课时）§5.1向量的内积、长度及正交性§5.2.方阵的特征值和特征向量§5.3相似矩阵§5.4对称矩阵的对角化§5.5二次型及其标准形§5.6用配方法化二次型成标准形§5.7正定二次型5物电学院计算物理教研室线性代数目录§1二、三阶行列式§2全排列及其逆序数§3n阶行列式的定义§4对换§5行列式的性质§6行列式按行(列)展开§7克莱姆法则第一章行列式一、内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具，近代被广泛运用到理工科各个领域，特别在工程技术和科学研究中，有很多问题需要用到“行列式”这个数学工具。本章主要讨论如下几个问题：1、行列式的概念及性质；2、行列式的计算；3、展开法则；4、Cramer法则求解方程组。第一章行列式物电学院一、引例本节从二元方程组的解法入手，介绍二、三阶行列式的概念以及学会用对角线法则求二、三阶行列式n阶行列式的概念源于对线性方程组的研究：例设有二元线性方程组122122111221221112211211221221baabxaaaaababxaaaa第一节二阶、三阶行列式利用加减消元法:(1)*a22-(2)*a12和(1)*a21-(2)*a11)2()1(22221211212111bxaxabxaxa式中的分子和分母都是方程组中四个系数分两对相乘再相减而得。若112212210aaaa则该线性方程组有唯一解，且可用消元法求出,其解可以写成如下形式：122122111221221112211211221221baabxaaaaababxaaaa10此解的公式不易记,为便于记忆和应用,萨鲁斯(Sarrus.P.F.)创造性地引进行列式的记号:定义:设是四个数，称为二阶行列式。称为这个二阶行列式的(i,j)元素，两个下角标i,j分别表示所在的行和列的序号，第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列。(,1,2)ijaij22211211aaaa21122211aaaa11122122,,,aaaa11a12a22a12a主对角线副对角线2211aa1221.aa二、二阶行列式的计算对角线法则若记,22211211aaaaD.,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组系数行列式二阶行列式的定义可以用对角线法则来记忆。分别称式中红、兰线为主、副对角线。对上面线性方程组的解，若用行列式记号，令：D22211211aaaa021122211aaaa1D212221222121baababab2112112211112abbababaD11112212112222,.axaxbaxaxb12122aDa12bb11221aDa12bb物电学院解可写成.;2211DDxDDx则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx注意分母都为原方程组的系数行列式..2221121122111122aaaababaDDx例如，对线性方程组221532121xxxx由于0)1(5232153D,8252122511D,7)1(12321132D二元一次方程组的解为：.117;1182211DDxDDx类似地，为了得出关于三元线性方程组：111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的解法，引入三阶行列式：定义111213212223313233933aaaaaaaaa设有个数排成行列的数表定义:称=332112322311312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa上式称为数表所确定的三阶行列式.三、三阶行列式物电学院四、三阶行列式的计算333231232221131211aaaaaaaaaD列标行标333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa如果三元线性方程组;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD,0附录:利用三阶行列式求解三元线性方程组2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD若记同理求出D2,D3,3333123221131112abaabaabaD1112132122231323.aabDaabaab则三元线性方程组的解为:,11DDx,22DDx.33DDx解：按对角线法则有：例题2计算三阶行列式124221342D12422134212(2)21(3)(4)(2)4(4)2(3)1142(2)(2)4632482414D例题3求解方程211123049xx解：方程左端的三阶行列式2223418921256Dxxxxxx2560x=2,x=3xx由解得：或22为了给出n阶行列式的定义，以及展开表达式一般形式，先介绍“全排列”及其“逆序数”的概念。1【排列】permutation把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，或n阶排列（简称排列）。例如:自然数1,2的排列共有两种：12,21自然数1,2,3的排列共有六种：123，132，213，231，312，321．推广:n个不同元素的排列共有n!种。其中,n阶排列中都有一个从小到大的排列1,2,3,...n,称为自然顺序排列(或标准排列).用Pn表示n个元素所成全排列的个数，则Pn＝n！§2全排列及其逆序数物电学院线性代数23为了方便起见，今后把自然数1,2,…,n视为n个不同的元素的代表。用Pn表示这n个不同的元素中的一个排列(Pn=1,2,…,n),且时于是便是1,2,…,n的一个排列。ijijpp123npppp2【逆序】aninverse－order在一个排列中,如果某两个元素比较,前面的数大于后面的数,就称这两个数构成一个逆序;如在n个不同自然数的一个排列中,某个数字的右边有ti个比它小的数字,则说明该数字在此排列中有ti个逆序。例如:有一排列:31254,31254其中,3后面比3小的有1,2两个数字,则3在该排列中有两个逆序.一个排列中所有数字的逆序数之和称为该排列的逆序数。对于排列把这个排列中各数的反序之和称为这个排列的逆序数.记为【逆序数】：numberoftheinverse-orders12nppp12121()nnniittppptttt25例如排列的逆序数记作：(1,2,,)0tn(23514)112004t((1)(2)321)(1)(2)210(1)2tnnnnnnn(23541)112105t1212()nnttpppttt3【计算排列逆序数的方法】方法1分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法2例1求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位，逆序数为0;2的前面有一个大的数,逆序数1；5是最大的数，其前面没有大数,逆序数为0;物电学院线性代数3251401031于是排列32514的逆序数为:1的前面有3个比1大的数,其逆序数为3;4的前面有1个大数,故逆逆序数为1;(32514)010315tt例如24314532112…nt(2431)=4偶排列t(45321)=9奇排列t(12…n)=0偶排列※注意:1、标准排列是偶排列.4【排列的奇偶性】奇排列（oddpermutation）逆序数为奇数的排列称为奇排列;偶排列（evenpermutation）逆序数为偶数的排列称为偶排列；例计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.2179863541解45368971254431001001001344518t此排列为偶排列.321212nnn解(2)(1)nn,21nn当时为偶排列；14,4kkn当时为奇排列.34,24kkn0t132121nnn210物电学院线性代数kkkkkk132322212123解0tkkk21112,2k当为偶数时，排列为偶排列，k当为奇数时，排列为奇排列.k112kkk112kkkkkk13232221212