定积分的应用课件

•内容提要1.元素法；2.平面图形的面积；3.立体的体积。•教学要求1.熟练掌握应用微元法去解决积分中的实际应用题；2.熟悉各种平面面积的积分表达方法；3.熟练掌握应用微元法求体积的方法；4.能用定积分表达某些物理量。定积分的应用badxxfA)(回顾用定积分求曲边梯形面积的问题：0,,ybxax，且0)(xf及直线所围成的曲边梯形的面积其求解步骤如下：上连续，在设],[)(baxfy、则由曲线)(xfyabxyo)(xfyA一、定积分的微元法abxoy)(xfyiiixfA)(即],[1iiixx任取第一步：分割将区间],[ba任意分成n个小区间),,2,1](,[1nixxii由此曲边梯形就相应地分成个小曲边梯形。第二步：近似形面积之和即niiAA1所求的曲边梯形面积A为每个小曲边梯为高，以)(ifiiixxx1为底的小矩形面积iixf)(近似代替小曲边梯形面积iAiAin1ixix第三步：求和第四步：取极限Aiinixf)(lim10}{max1inix其中总结：上述四步中，由第一步知，],[ba有关，部分量的和，可加性.],[ba分成许多小区间，的面积A这个量就相应地分成许多部分量，如果把区间],[ba具有这种性质称为所求量A对区间则所求而A是所有.)(1iinixfabxoy)(xfyiAi1ixixA所求面积A这个量与是定积分的积分区间。],[babadxxf)(就是定积分的被积表达式abxoy)(xfyiA1ixix上述第二步中的近似表达式iiixfA)(可确定定积分的被积表达式dxxf)(方法是：,1iix取于是有iiixxfA)(1再将区间],[],[1dxxxxxii记为则iixxf)(1可写为dxxf)(称dxxf)(为面积A的微元，于是badAAdAdxxfdA)(即xdxxi记为dAbadxxf)(iAA一般地，当所求量F符合下列条件：以上方法称为有关的量；的变化区间是与变量],[)1(baxF具有可加性，对于区间],[)2(baF],[ba即如果把，分成许多部分区间许多部相应地分成则F，分量许多部分量的和；等于而F可这是量F.以用定积分表示的前提上，的任意小区间在],[],[)3(dxxxba相应分量，的近似值可表示为dxxfF)(称为将dxxf)(,dF且记作,的微元F.)(dxxfdF即这就给出了定积分的被积表达式dxxf)(于是badFFbadxxf)(“微元法”微元法解决实际问题的一般步骤如下：(1)根据问题的具体情况，x选取一个变量例如取为积分变量，并确定它的变化区间;],[ba，上任取一个小区间在],[],[)2(dxxxba求出所求量，微元的dxxfF)(badFF)3(badxxf)(以上步骤要熟练掌握!如：平面图形的面积；引力和平均值;液体的压力；变力做功；平面曲线的弧长；体积；注意微元法解决实际问题的使用对象：具有可加性的量等等.)(xfyabxyo)(xfyaxboybadxxf)(二、平面图形的面积0)(xf1）如果则badxxf)(badxxfS)(，上如果在0)(],[)2xfbaSS即则S上所围的面积在],[)(.1baxf上在],[ba（一）、在直角坐标系下的面积问题S)(xfyabxyo1S2S区间上时正时负，在若],[)()3baxf21SS如图21)(SSdxxfba则badxxf|)(|?)(xfy)(xgyabxyobadxxgxfA)]()([dx.,)(),(.2所围平面图形面积及由bxaxxgxfdxxx上连续，在、设],[)()(baxgxf，且)()(xgxfbxaxxgyxfy,)(),(及直线求由曲线.A所围成的平面图形面积熟记用微元法：dA.为积分变量取x)]()([xgxfcd)(yx)(yxyxodAA.,Adycy所围成的平面图形面积及直线ydyydyydA))()(),(yyyxyx）（（且求由dyyydc)]()([熟记用微元法：.为积分变量取ydy)]()([yyxy1所围成的图形例1计算由抛物线,xy轴xx,1的面积A.解为积分变量，取x].1,0[积分区间为10dAAdxx1032dxxxdA用微元法dxxdA2xyxy2xyo例2计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积A.确定积分区间：dA10dAA10333223xx31解方法一：选择x作积分变量xyxy22由1从而得到积分区间],1,0[区间上任取一小区间],[dxxxdAxdxx1,0xx解得dxxx)(210]1,0[在面积微元dxxx)(2?ox2xyxy2y确定积分区间：面积微元dA10dAA10333223yy31方法二：选择y作积分变量解得y=0,y=1xyxy22由从而得到积分区间],1,0[区间上任取一小区间],[dyyy1yy+dydA]1,0[在dyyy)(210dyyy)(2?xy224xy例3计算由曲线xy22和直线4xy所围解求两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选为积分变量y]4,2[ydA42dAA选x作积分变量时，需求两块面积yy+dy作面积微元dAdA18dyyy42224成的图形的面积.,242dyyy?yxo解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．)20,0(sincos433tataytax求星形线例)cos(sin43203tatdaA注意：.所围成图形的面积)cos(sin43023tatdadttta20242cossin)3(4dttta)sin1(sin1222042283aaaaaaydxA04dxxxydxdA如果曲边梯形的曲边)()(tytx)(t的方程为参数方程：)(xfy]),[,0)((baxxf,)(,)(ba且上具有连续导数，在],[)(t.)(连续ty,)(,)(ba或oyxab)(xfy曲边梯形的面积])([)(tdtdxxfAba)(由上例可知：dxxfAba)(或])([)(tdtyxo20)cos(sin4tatdb解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．02)cos(sin4tatdbAdttab202sin4.ab.)20(sincos所围成图形的面积求椭圆ttbytax注意：abbaaydxA0练习xod)(rr面积微元drdA2)]([21曲边扇形的面积.)]([212drA（二）、在极坐标系下的面积问题)(,)(及射线由曲线rr所围成的图形，.A求其面积称为曲边扇形.解为积分变量，取].,[积分区间为用微元法，上任取一小区间],[d],[在xoar)0(1aar计算阿基米德螺线例的图形的一段弧与极轴所围成变到从20上相应于.A的面积a2解Ada22202120323121a3234ada220)(21?.)]([212drAox解.232adaA)]cos1([21220d)coscos21(22022a2022sin41sin2232a)0(a)cos1(ar所围平面图形的面积A.例2求心形线.)]([212drA解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积14AAdaA2cos214402xy2cos22axo1A求双纽线2cos22a所围平面图形的面积.2a22cos402da4022sina.)]([212drA练习xo2.在极坐标系下的面积问题.)]([212dr)(rrA?三、体积旋转体圆柱圆锥圆台（一）、旋转体的体积由一个平面图形绕这个平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．y取横坐标x为积分变量,一般地,轴所围成的曲边梯形,及x轴旋转一周而成绕x?V求体积由连续曲线)(xfy直线bxax,的立体,yxoab)(xfy],[ba它的变化区间为相应于],[ba上任一小区],[dxxx间小曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片近似地等于以f(x)为底面半径、dx为高的圆柱体的体积，即体积微元为2)]([xfdVdx于是，在闭区间[a,b]上作定积分，得所求旋转体体积为Vdxxfba2)]([的体积xdxx例1圆锥体的体积解xhry取积分变量为x，],0[hx直线的方程为OPyrhPxoxhry利用旋转体体积公式，圆锥体的体积dxxfVh20)]([dxxhrh20hxhr03223.32hrhdxxhr0222知：dxxfVba2)]([.32hrV的高为求证半径为hr例2计算椭圆12222byax绕x轴旋转而形成的旋转体的体积.oxy12222byaxaa解这个旋转体可以看成以半个椭圆22xaaby绕x轴旋转而成的立体取积分变量为x,],[aax利用旋转体体积公式，知：所求的体积为aadxxaabV222aadxxaab)(2222aaxxaab322231234ab求星形线绕x轴旋转构成旋转体的体积.解,323232xay332322xay],[aax由旋转体的体积公式，知：dxxfVaa2)]([.105323adxxaaa33232)0(323232aayx练习xyo)(yxcd类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转体积为dyy2)]([dcV熟记一周而成的立体，xoy12例3轴所围成的及直线xx1，求由抛物线22xy旋转一周而成的旋转体的体积.图形解为轴旋转的旋转体的体积绕xdxyVx102dxx104454为轴旋转的旋转体的体积绕yyV2212dyx202dyy202轴轴，分别绕yx（二）、平行截面面积为已知的立体的体积设一立体位于过点x=a,x=b且垂直于x轴的两平面之间，,)(dxxA.)(badxxAV从而用垂直于x轴的任一平面截此立体所得的截面积A(x)是x的已知函数，)(xAx取x为积分变量，在区间[a,b]上任取一小区间过其端点作垂直x轴的平面，)(xAxx+dx作体积微元：)(xAxx+dxxoaby.V求这个立体的体积dV体积微元为[x,x+dx]，以A(x)为底，dx为高作柱体，用微元法：xoy例一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解取坐标系如图底半圆方程为22xRy截面面积)(xA立体体积V.323tgR垂直于x轴的截面为直角三角形222RyxRRtgxR)(2122ytgy21dxtgxRRR)(2122RRdxxA)(,.1的圆计算底面是半径为R而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积.