定积分的概念

通过求不规则图形面积问题的举例引出定积分的概念，使学生理解定积分概念中的“分割（化整为零）、代替（近似代换）、求和（拾零归整）、取极限（从近似到精确）”的数学方法和“以直代曲”“以常代变”的数学思想，挖掘其蕴含的哲学原理。定积分概念的数学方法和数学思想。通过问题的提出和解决，结合多媒体教学，引导学生逐步对定积分的概念有一个完整的理解，进一步提炼定积分概念当中所蕴含的哲学原理和数学思想方法。45分钟。一、定积分问题举例；二、定积分的概念；三、有关定积分概念的几点说明。一、定积分问题举例一座大桥水下桥墩部分所受到的水压力是多少?不规则草场的面积如何计算？人造地球卫星，它需要克服地球引力做多少功才使其进入预定轨道？某物体作变速直线运动，在一段时间内所经过的路程是多少？阿基米德“穷竭法”定积分一、定积分问题举例有一块草场，在围成它的四条边中，有三条是直线，其中两条互相平行，第三条与前两条互垂直，叫做底边，第四条是一条曲线弧，称为曲边，这条曲边与任意一条垂直于底边的直线至多只交于一点，这样的图形称为曲边梯形。求它的面积。曲边底边一、定积分问题举例例1:求曲边梯形的面积。)(xfy设曲边是连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)，则曲边梯形就由曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。曲边梯形的面积窄曲边梯形的面积曲边梯形面积的近似值窄矩形的面积化整为零分割代替以直代曲拾零归整求和从近似到精确取极限一、定积分问题举例（1）分割：设分点为：a=x0＜x1＜x2＜…＜xn=b其长度为△xi=xi－xi-1(i=1,2,…,n)小曲边梯形面积为：△s1，△s2，……，△sn)(xfy（2）代替：i△si≈f()△xi(i=1,2,…,n)ii1ixix任意取一点,(xi-1≤≤xi),用为高,以△xi为底的小矩形面积来近似代替同底的小曲边梯形的面积。ii)(if一、定积分问题举例（3）求和：niiiniixfSS11)(（4）取极限：△xi→0记作：inix1maxniiixfS10)(lim将n个小矩形的面积加起来。把区间[a，b]无限地细分，使得一、定积分问题举例例2：求变速直线运动的路程。设物体作直线运动，其速度v(t)是t的一个连续函数，求物体在时间间隔[a，b]内所经过的路程s。分析：变速匀速求和取极限t0t1t2tn1tn…一、定积分问题举例（1）分割：设分点为：a=t0＜t1＜t2＜……＜tn=b其长度为△ti=ti－ti-1(i=1,2,…,n)所走过的路程为：△s1，△s2，……，△sniiitVS)((i=1,2,…,n)（2）代替：i任取一个时刻(ti-1≤≤ti)以物体在时刻的速度v()去近似代替[ti-1,ti]上各个时刻的速度，得到部分路程近似值:iii△si将这些分段路程加起来，得到总路程的近似值：一、定积分问题举例（3）求和：（4）取极限：△ti→0记作：niiiniitVSS11)(init1maxniiitVS10)(lim把区间[a，b]无限地细分，使得二、定积分的概念上面两个例子：一个是几何问题，一个是物理问题，从数量关系上看都是要求某种整体的量。（1）分割化整为零；（2）代替以直代曲或以不变代变；（3）求和拾零归整；（4）取极限从近似到精确。二、定积分的概念定义：设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续有界，将区间[a,b]任意分成n份，分点依次为：a=x0＜x1＜x2＜……＜xn=b及和数则称函数f(x)在区间[a，b]上的定积分在每一个小区间[xi-1，xi]上任意取一点，作乘积if()△xi(△xi=xi–xi-1)(i=1，2，…，n)iniiixf1)(0max1inixbaniiidxxfxfI)()(lim10二、定积分的概念被积函数积分变量区间[a,b]称为积分区间,积分下限积分上限badxxf)(三、有关定积分概念的几点说明(一)、定积分是一种和式，只与积分区间和被积函数的形式有关，积分变量采用什么符号是无关的。可以把badxxf)(写成badttf)((二)、在定积分的定义中，下限a总是小于上限b的。规定：当a＞b时，baabdxxfdxxf)()(当a=b时，0)(badxxf三、有关定积分概念的几点说明(三)、如果f(x)≤0，则定积分是曲边梯形面积的负值。badxxf)(∵当f(x)≥0时，定积分为niiibaxfdxxfS10)(lim)(对于f(x)≤0，有－f(x)≥0，则：niiixfS10)(lim)(xfybaniiidxxfxf)()(lim10三、有关定积分概念的几点说明(四)、定积分的几何意义是：由曲线y=f(x)，直线x=a,x=b,y=0所围成的几个曲边梯形的面积的代数和（即在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号）。s1s2s3321)(SSSdxxfba当f(x)≡1时，abdxdxdxxfbababa1)(（1）本节课主要讲授了定积分的概念。从上面的讲述我们可以知道，定积分是计算曲边梯形面积的公式，是当区间无限细分时窄曲边梯形面积求和的极限，在此定义中应重点掌握分割、代替、求和、取极限四个重要环节（2）要注意定积分与不定积分的区别和联系。（3）要深刻挖掘解决问题的思想方法和蕴含的哲学内涵。P281习题一第1题.第2题.