定积分的概念和性质

§4.3定积分的概念和性质1、定积分基本概念2、定积分的性质定积分概念一、定积分问题举例1、求曲边梯形的面积xy=f(x)y0ab思想方法在区间[a,b]中任取若干分点：bxxxxxxxannii11210把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间：),,3,2,1(1nixxxiii],[1iixx过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为iAxy0y=f(x)0xa1x3x1ixix1nxbxn2x（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条小区间长度记为：（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形iiiiiiiiiiixfAfxfxxxxi)()(,).(),],[11曲边梯形的面积，即面积来近似代替这个小的小矩形长为用相应的宽为它所对应的函数值是（上任取一点个小曲边梯形的底在第xy0y=f(x)0xa1x2x1ixix1nxbxnξｉf(ξ)ｉ（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值。把n个小矩形的面积相加得和式iniixf)(1它就是曲边梯形面积A的近似值，即.)(1iniixfAxy0y=f(x)0xa1x2x1ixix1nxbxnξｉf(ξ)ｉ（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之和的极限就是曲边梯形面积A的精确值。iniixf)(1分割越细，就越接近于曲边梯形的面积A，当可见，曲边梯形的面积是一和式的极限xy0y=f(x)0xa1x2x1ixix1nxbxnξｉf(ξ)ｉ小区间长度最大值趋近于零，即0（表示iniixf)(1这些小区间的长度最大者）时，和式的极限就是A，即iniixfA)(lim102、变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上t的连续函数，且，计算在此段时间内物体经过的路程。)(tvv],[21TT0)(tv思想方法（1）分割：在区间中任取若干分点：211101TttttttTnnii],[21TT（2）近似求和：.)(1iniitvs（3）取极限：iniitvs)(lim10（表示所有小区间的长度的最大者）把分成n个小区间：),,3,2,1(1nitttiii],[1iitt小区间长度记为：],[21TT二、定积分的定义定义设函数f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点：分划任取，作和式近似求和记，如果取极限bxxxxxann1210],[1iiixxniiixfS1)(1iiixxx},,,max{21nxxxIxfniii10)(lim存在，且极限值I不依赖于的选取，也不依赖于[a，b]的分法，则称I为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分)，记作,即其中：f(x)叫做被积函数;f(x)dx叫做被积表达式;x叫做积分变量;a叫做积分下限，b叫做积分上限;[a,b]叫做积分区间。ibadxxf)(iniibaxfdxxfI10)(lim)(如果f(x)在[a，b]上的定积分存在，也称f(x)在[a，b]上可积。否则，称f(x)在[a，b]上不可积。注：定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。即bababaduufdttfdxxf)()()(三、函数可积的充分条件定理1若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上可积。定理2若f(x)在[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a，b]上可积。四、定积分的几何意义若f(x)≥0，则的几何意义表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。badxxf)(一般情形,的几何意义为：它是介于x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b之间的各部分面积的代数和。badxxf)(＋－＋yb0ax定积分的性质中值定理规定(1)当a=b时，(2)当ab时,性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。即badxxf0)(abbadxxfdxxf)()(bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([•证•注：此性质可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形。•babaniiiniiiniiiibadxxgdxxfxgxfxgfdxxgxf)()()(lim)(lim)]()([lim)]()([101010•性质2被积函数的常数因子可以提到积分符号外。即•证为常数）（kdxxfkdxxkfbaba)()(baniiiniiibadxxfxfkxkfdxxkf)()(lim)(lim)(1010•性质3(定积分的区间可加性)•证因f(x)在区间[a,b]上可积，所以对[a,b]的任意分划，积分和的极限总是不变的。考虑[a，b]的一个特殊分划，使c作为一个分点，那么[a，b]上的积分和等于[a，c]上的积分和加[c，b]上的积分和，记为，则若bcabccabadxxfdxxfdxxf)()()(],[],[],[)()()(bciicaiibaiixfxfxf•令λ→0，上式两端同时取极限，得•注：不论a，b，c的相对位置如何，性质3总是成立的。例如，当abc时，由性质3，有•于是bccabadxxfdxxfdxxf)()()(cbbacadxxfdxxfdxxf)()()(cabccbcabadxxfdxxfdxxfdxxfdxxf)()()()()(•性质4•证因f(x)≡1，所以•性质5若在区间[a，b]上，，则•证因，所以•又由于，因此babaabdxdx1ababxdxniiba)(lim1lim1010)(0)(badxxfba),,2,1(,0)(nifi0)(xf0)(xf),,2,1(0nixi0)(1niiixf•所以•推论1如果在区间[a，b]上，则•证因，则•由性质1，有0)(lim)(10niiibaxfdxxf)()(xgxf)()()(badxxgdxxfbaba0)()(xfxg0)]()([dxxfxgbababadxxgdxxf)()(•推论2•)()()(badxxfdxxfbaba)()()(xfxfxf因证bababadxxfdxxfdxxf)()()(所以babadxxfdxxf)()(即)()()(abMdxxfabmba则及最小值上的最大值在分别是及设性质,],[)(6baxfmM，使上至少存在一点上连续，则在间在闭区如果函数（定积分中值定理）性质],[],[)(7babaxf)(baabfdxxfba))(()(式。这个公式叫积分中值公Mxfm)(因证bababaMdxdxxfmdx)(所以baabMdxxfabm)()()(即，有由性质证6baabMdxxfabm)()()(baMdxxfabm)(1即有使得，在一点上至少存，，在连续函数的介值定理知的最小值和最大值，由分别是、因][)(baxfMmbafdxxfab)()(1)())(()(baabfdxxfba即小测验求2111dxx