定积分的简单应用(课件)

§1.7定积分的简单应用临澧一中刘贤清复习回顾1.微积分的基本思想通过分割→近似代替→求和→取极限的过程，求出一些曲边梯形(由函数()yfx(()0fx≥)的图象和直线xa,xb,x轴围成的平面图形)的面积.并把它们浓缩成了一个结果:定积分()bafxdx从有限到无限的思想方法开启了数学领域的一片新天地！复习回顾2.微积分基本定理----牛顿－莱布尼茨公式'()()()|()()bbbaaafxdxFxdxFxFbFa牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系．3.定积分的几何意义：表示曲边梯形的“面积”利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是()()fxFx确定的原函数复习回顾4.微积分的性质为常数）kdxxfkdxxkfbaba()()()1()(,0)(,0)(abdxxfxfba则若()0,()0,()bafxfxdxba若则(4)(3))()()()(bcadxxfdxxfdxxfbccaba其中dxxfdxxfdxxfxfbababa)()()()()2(2121思考1()baAfxdx221[()()]baAfxfxdx试用定积分表示下面各平面图形的面积值:()yfxabxyo)(1xfy)(2xfyabxyo)(1xfy)(2xfyab0xy)(xfyab0yx3()baAfxdx42121()()[()()]bbbaaaAfxdxfxdxfxfxdx归纳总结我们知道定积分()bafxdx的几何意义：它是介于x轴、函数()fx的图象及两条直线,xaxb之间的各部分的“面积”代数和.(在x轴上方的取正号，在x轴下方的取负号)注意：求积分的值与求面积是有区别的，关键是求面积用“上”减“下”或者在被积函数上打绝对值。自主探究例1.(1)若a0,则______))1(1(102dxxx________022dxxaa练习：______sinxdx22cos____xdx探究一：定积分的计算(2)20cos______xdx(2)(1)例1.(1)若a0,则______))1(1(102dxxx________022dxxaa(2)______))1(1(102dxxx(2)________022dxxaa______))1(1(102dxxx(2)________022dxxaa______))1(1(102dxxx(2)例2．计算由曲线2yx，直线4xy以及x轴所围成的图形的面积.解:两曲线的交点(0,0),(8,4).24yxyx直线与x轴交点为(4,0)2yx4yx88042(4)xdxxdx488120442[2(4)]SSSxdxxdxxdx488044(22)(4)xdxxdxxdx382820422140|(4)|323xxx探究二：求面积练习1（课本变式题）：计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解:两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxyxy224xy8281202222(24)SSSxdxxxdx1S1S2S2yx33228220242221166426|(4)|18332333xxxx280222(24)xdxxxdx24解2:求两曲线的交点:).4,8(),2,2(422xyxy18)214(242dyyySY型求解法xy224xyX型区域上减下，Y型区域右减左练习2.求曲线xxy63和2xy所围成的图形的面积.解:两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy03212(6)Axxxdx32320(6)Axxxdx于是所求面积21AAAdxxxxA)6(2023dxxxx)6(3230.12253说明：注意各积分区间上被积函数的形式．例3.已知抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0围成的平面图形的面积为,求a的值.思路:根据a的取值的不同分类讨论.222024(2)(2)3axxdxxxdx当a2时,,,无解|()|()baSfxdxab注意故a=-1或a=2[-1,2]43当a≤0时,,解得a=-1024(2)3axxdx204(2)3axxdx当0a≤2时,,解得a=2204(2)3axxdx例1.一物体的运动速度随时间的变化关系为32()2532,Vtttt则该物体在0至3秒的位移和路程分别为多少？探究三：物理学上的应用先观察y=v(t)的图象由于2()(2)(21)vtttt2302101029()()3333Svtdtvtdt∴物体的位移为3(单位)，路程为(单位)293物体运动的路程为30|()|Svtdt解:物体的位移为3343200153()23232vtdtt-t+t-t=例2.如图,在弹性限度内，其倔强系数为k,将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置L米处，求克服弹力所作的功．2200011()|22LLLWFxdxkxdxkxkL探究三：物理学上的应用练习：一物体从0至1小时内运动的速度（千米/小时）随时间t（小时）的关系式为(1)求这1个小时该物体所走的路程S；(2)问该物体从开始运动经历多长的时间走过一半路程。12)(2tttV总结提升求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤:(1)画草图;(2)求曲线的交点定出积分上、下线;(3)确定被积函数,但要保证求出的面积是非负的;(4)写出定积分并计算.课后作业1．求下列曲线所围成的图形的面积:(1)2,23yxyx(2),,0xyeyex28(0)yxy60xy(3)求由抛物线与直线0y及所围成的图形的面积.2.抛物线与直线y=3x的两个交点为A、B，点P在抛物线弧上从A向B运动(1)求使△ABP的面积最大时P点的坐标（a，b）；(2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x=a分成面积相等的两部分。xy43.求)0(321lim1pnnpppppn