导数与微分的定义

第二章导数与微分微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton第一节1.导数和微分的定义一、导数的定义四、导数的几何意义三、函数的可导性与连续性的关系二、单侧导数五、微分一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为0t则到的平均速度为v)()(0tftf0tt而在时刻的瞬时速度为lim0ttv)()(0tftf0tt221tgsso)(0tf)(tft自由落体运动xyo)(xfyC2.曲线的切线斜率曲线NT0xM在M点处的切线x割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率tan)()(0xfxf0xx切线MT的斜率tanlimlim0xxk)()(0xfxf0xx两个问题的共性:so0t)(0tf)(tft瞬时速度切线斜率xyo)(xfyCNT0xMx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题二、导数的定义定义1.设函数在点0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0xfxfy0xxx存在,并称此极限为记作:;0xxy;)(0xf;dd0xxxy0d)(dxxxxf即0xxy)(0xfxyx0lim则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.运动质点的位置函数)(tfsso0t)(0tf)(tft在时刻的瞬时速度0t曲线)(:xfyC在M点处的切线斜率xyo)(xfyCNT0xMx)(0tf)(0xf)()(0xfxfy0xxx若上述极限不存在,在点不可导.0x若,lim0xyx也称在若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf注意:)(0xf0)(xxxfxxfd)(d0就说函数就称函数在I内可导.的导数为无穷大.由定义求导数的步骤);()()1(xfxxfy求增量;)()()2(xxfxxfxy算比值.lim)3(0xyyx求极限一些基本初等函数的导数•常数函数的导数•幂函数的导数•正（余）弦函数的导数•对数函数的导数•指数函数的导数常数函数的导数.)()(的导数为常数求函数CCxf解0()()()limxfxxfxfxx0limxCCx.0()0.C注：.)()(,0))((000处的导数值在点表示函数而xxxfxfxf例2.正弦函数的导数.)(sin)(sin,sin)(4xxxxxf及求设函数解0sin()sin(sin)limxxxxxx0sin2limcos()22xxxxx.cosx(sin)cos.xx44cos)(sinxxxx.22所以(cos)sin.xx同理可得例1.例3.求函数解:()()fxxfxxlimnnxaxxxx0lim(x21()nxxx32()nxxx1)nx幂函数的导数0limx10()nxxx的导数1()nnxnx更一般地1()()xxR说明：对一般幂函数xy(为常数)1)(xx例如，)(x)(21x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明）对数函数的导数.),(log的导数求函数10aaxya解0log()loglimaaxxxxyx1(ln).xx0log(1)1limaxxxxxx01limlog(1)xxaxxxx111log.lnaexxa1(log)'lnaxxa例4.指数函数的导数.)1,0()(的导数求函数aaaxfx解0()limxxxxxaaax01limxxxaaxln.xaa()ln.xxaaa().xxee例5.（见1-4函数连续性的例3）01limlnxxaax在点的某个右邻域内五、单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作)(0xf即)(0xf(左)(左))0(x)0(x))((0xf0x例如,xxf)(在x=0处有xyoxy定义2.设函数有定义,存在,0xx0xx定理2.函数在点且)(0xf存在)(0xf简写为若函数)(bf与都存在,则称在开区间内可导,在闭区间上可导.可导的充分必要条件是且四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x处可导,存在,因此必有其中故0x所以函数在点x连续.即1sin,0,()0,0.xxfxxx0x在处的连续但不可导。注意:函数在点x连续未必可导.证31lim10(1),xxf例1:,1)(3xxf1x处连续但不可导在试证1x处连续。在0(1)(1)limxfxfx又300limxxx1x处不可导。在例2:0－1/π1xy31yxyx01分段函数在分段点的可导性.,),(),()(000可导性的讨论在点设函数xxxxxxxxf000()()limxfxxfxx000()()limxxxxx0()fx0()fx000()()limxfxxfxx000()()limxxxxx,)()()(,)(axfxfxfxf0000都存在且若.)(',)(axfxxf00且可导在点则解yxxyo(0)(0),xfxfxx00(0)(0)limlimxhfxfxxx,100(0)(0)limlimxxfxfxxx.1),0()0(ff即.0)(点不可导在函数xxfy例6..0)(处的可导性在讨论函数xxxf7.设,问a取何值时,在都存在,并求出解:)0(f0sin(0)0limhhh1)0(f0(0)0limhahha故1a时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.三、导数的几何意义xyo)(xfyCT0xM曲线在点的切线斜率为)(tan0xf若曲线过上升;若曲线过下降;xyo0x),(00yx若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.xyo0xyox曲线在点处的切线方程:法线方程:)0)((0xfo()yfx0'()Tfx0x法线xy例8，求曲线1yx在1(,2)2处的切线方程和法线方程。解：21211'()42xfx切线方程：法线方程：一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则,2xA0xx面积的增量为xx020xAxx02)(x关于△x的线性主部高阶无穷小0x时为故称为函数在的微分0x当x在0x取得增量x时,0x变到,0xx边长由其的微分,定义:若函数在点的增量可表示为0x(A为不依赖于△x的常数)则称函数)(xfy而称为xA记作即xAyd定理:可微的充要条件是)(xoxA则xxfy)(d0在点可微,定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则)()(00xfxxfy))((limlim00xxoAxyxxA故)(xoxA在点的可导,且在点可微的充要条件是0x在点处可导,且即xxfy)(d0定理:函数在点可微的充要条件是0x在点处可导,且即xxfy)(d0“充分性”已知)(lim00xfxyx)(0xfxy)0lim(0xxxxfy)(0故)()(0xoxxf线性主部即xxfy)(d0在点的可导,则说明:0)(0xf时,xxfy)(d0)()(0xoxxfyyyxdlim0xxfyx)(lim00xyxfx00lim)(11所以0x时yyd很小时,有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当微分的几何意义xxfy)(d0xx0xyo)(xfy0xydyxtan当很小时,xyyd时，当xy则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,为称x记作xddyxxd记例如,,3xyyd02.0d2xx23xxd02.0d2xx24.0,arctanxyydxxd112基本初等函数的微分公式(见P66表)又如,内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.)(C)(cosxaxf)(02.axfxf)()(00)(lnx;0;sinxx1增量比的极限;切线的斜率;思考与练习1.函数在某点处的导数区别:)(xf是函数,)(0xf是数值;联系:0)(xxxf)(0xf注意:有什么区别与联系?])([)(00xfxf？与导函数7.微分概念•微分的定义及几何意义•可导可微2.设存在,则.________)()(lim000hxfhxfh3.已知则)(0xf0k4.若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则故在可导,且且