“双勾函数”的性质与应用

----“双勾函数”的性质及应用问题引入：求函数2254xyx的最小值．问题分析：将问题采用分离常数法处理得，2222411444xyxxx，此时如果利用均值不等式，即221424yxx≥，等式成立的条件为22144xx，而22144xx显然无实数解，所以“”不成立，因而最小值不是2，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质．一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质1．“双勾函数”的定义我们把形如()kfxxx（k为常数，0k）的函数称为“双勾函数”．因为函数()kfxxx（k为常数，0k）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名．2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像3．类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质（1）“二次函数”的性质①当0a时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着xxOy2bxa2bxa0a0a二次函数图像xykkOyx(0)kyxkx“双勾函数”图像----的增大而增大；当2bxa时，函数y有最小值244acba．②当0a时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小．当2bxa时，函数y有最大值244acba．（2）“双勾函数”性质的探究①当0x时，在xk左侧，y随着x的增大而减小；在xk的右侧，y随着x的增大而增大；当xk时，函数y有最小值2k．②当0x时，在xk的左侧，y随着x的增大而增大；在xk的右侧，y随着x的增大而减小．当xk时，函数y有最大值2k．综上知，函数()fx在(,]k和[,)k上单调递增，在[,0)k和(0,]k上单调递减．下面对“双勾函数”的性质作一证明．证明：定义法．设12,xxR，且12xx，则1212121212121212()()()()()(1)xxxxkakkfxfxxxxxxxxxxx．以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？首先0x，∴0x就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令120xxx，2010kx可得到xk，因此又找到两个分界点k，k．这样就把()fx的定义域分为(,]k，[,0)k，(0,]k，[,)k四个区间，再讨论它的单调性．设120xxk，则120xx，120xx，120xxk，∴120xxk．∴121212121212()()()()0xxxxkkkfxfxxxxxxx，即12()()fxfx．∴()fx在(0,]k上单调递减．同理可得，()fx在[,)k上单调递增；在(,]k上单调递增；在[,0)k上----单调递减．故函数()fx在(,]k和[,)k上单调递增，在[,0)k和(0,]k上单调递减．性质启发：由函数()(0)kfxxkx的单调性及()fx在其单调区间的端点处取值的趋势，可作出函数()yfx的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关性质．此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能．4．“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比（1）“二次函数”的区间最值设，求在上的最大值与最小值．分析：将配方，得对称轴方程，①当时，抛物线开口向上．若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；若，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．②当0a时，抛物线开口向下．若必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值；若，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值．以上，作图可得结论．①当时，max121()()()22()1()()()22bfmmnafxbfnmna如图如图，≥，；min345()()2()()()22()()2bfnnabbfxfmnaabfmma如图如图如图，，≤≤，．mnx图1mnx图2mnx图3mnx图4mnx图5----②当时，max678()()2()()()22()()2bfnnabbfxfmnaabfmma如图如图如图，，≤≤，；min9101()()()22()1()()()22bfmmnafxbfnmna如图如图，≥，．（2）“双勾函数”的区间最值设()(0)kfxxkx，求在上的最大值与最小值．分析：①当0x时，其图像为第一象限部分．若[]kmn，，则函数必在界点xk处取得最小值，最大值需比较两个端点处的函数值；若[]kmn，，此时函数在上具有单调性，故在离直线xk较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．②当0x时，其图像为第三象限部分．若[]kmn，，则函数必在界点xk处取得最大值，最小值需比较两个端点处的函数值；若[]kmn，，此时函数在上具有单调性，故在离直线xk较远端点处取得最小值，较近端点处取得最大值．以上，作图可得结论．①当0x时，mnx图6mnx图7mnx图8mnx图9mnx图10----max()(,()max{(),()},[,](,()(.fmknfxfmfnkmnfnkm，如图11)如图12)，如图13)min()(,()(),[,](,()(.fnknfxfkkmnfmkm，如图11)如图12)，如图13)②当0x时，max()(,()(),[,](,()(.fnknfxfkkmnfmkm，-如图14)如图15)，-如图16)min()(,()min{(),()},[,](,()(.fmknfxfmfnkmnfnkm，-如图14)如图15)，-如图16)二、实践平台例1某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式近似地表示为230400010xyx．问：（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本；mnkxmnkxmnkx图11图12图13mnx图14kmnx图15kmnx图16k----（2）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润．分析：将问题归结为“双勾函数”问题，利用“双勾函数”的性质，可使问题轻松获解．解：（1）由题意可知，每吨平均成本为ySx万元．即400014000030()301010yxSxxxx，因为函数在区间(0,200]上为减函数，在区间[200,)上为增函数．所以当200x时，函数400014000030()301010yxSxxxx有最小值为140000(200)301010200S最小（万元），所以当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为10万元．（2）设年获得总利润为Q万元，则2211616304000(230)12901010xQxyxxx，当230(150,250)x，1290Q最大，故当年产量为230吨时，可获得最大利润1290万元．评注：本题的关键是用年产量x吨把每吨平均成本及利润表示出来，然后再求其最值，在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性，记住这个结论可以简化计算过程．函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题．例2甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位），由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域．（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶．分析：要计算全程的运输成本sbvvabvavsy)()(2(v0≤c)，而已知每小时的运输成本，只需计算全程的时间，由题意不难得到全程运输成本sbvvabvavsy)()(2(v0≤c)，所要解决的问题是求bvva何时取最小值，显然要对c的大小进行讨论，讨论的标准也就是c与ba的大小．解：（1）依题意知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv，因此全程运输成本为sbvvabvavsy)()(2，又据题意v0≤c，故所求函数及其定义域分别为：)(bvvasy，],0(cv．----（2）设()()aabufvbvbvvv，∴u在],0(ba上是减函数，在[,)ba上是增函数．①若ba≤c，结合“双勾函数”的性质知，当bav时运输成本y最小．②若cba，函数在],0(c上单调递减，所以当cv时，全程运输成本最小．评注：解应用题时，首先要训练读题能力，成功地完成对数学文字语言、符号语言、图形语言的理解、接受和转换，继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼，分清主次，并建立数学模型解决实际问题．例3（2006安徽高考）已知函数()fx在R上有定义，对任意实数0a和任意实数x，都有()()faxafx．（Ⅰ）证明(0)0f；（Ⅱ）证明0()0.kxxfxhxx，≥，，其中k和h均为常数；（Ⅲ）当（Ⅱ）中的0k，设1()()(0)()gxfxxfx，讨论()gx在(0)，内的单调性并求最值．分析：承接第（Ⅱ）问的结论，将问题归结为“双勾函数”的单调性与函数最值的求解问题．证明：（Ⅰ）令0x，则00faf，∵0a，∴00f．（Ⅱ）①令xa，∵0a，∴0x，则2fxxfx．假设0x时，()fxkx(kR），则22fxkx，而2xfxxkxkx，∴2fxxfx，即()fxkx成立．②令xa，∵0a，∴0x，2fxxfx假设0x时，()fxhx()hR，则22fxhx，而2xfxxhxhx，∴2fxxfx，即()fxhx成立．∴,0,0kxxfxhxx成立．----（Ⅲ）当0x时，2111()kgxfxkxkxfxkxx，由“双勾函数”性质知在1(0,]k上为减函数，在1[,)k上为增函数，所以当1xk时，min[()]2gx．评注：数学高考试题注重“考基础、考能力、考思想”．所以熟悉数学化归的思想，有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题，将有利于强化在解决数学问题中的应变能力，有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧．适当进行化归、转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口，是分析问题中思维过程的主要组成部分．本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到“双勾函数”区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉．例4（2001广东高考）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为(1)，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求23[,]34，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?分析：设定变元x，寻找它们之间的内在联系(等量关系)，选用恰当的代数式表示问题中的这种联系，建立函数模型，将问题归结为“双勾函数”区间最值问题，并运用“双勾函数”性质进行求解．解：设画面高为xcm，宽为xcm，则24840x设纸张面积为Scm22(16)(10)(1