7.4平面向量的内积

1、向量的坐标表示：平面直角坐标系中的任一向量都可以唯一表示成的形式，叫做向量的坐标形式，记作=（x，y），叫做向量的坐标表示。jyixaaa2、对于直角坐标平面上任意向量，将它的起点移至原点O，则其终点坐标为A（x，y）就是向量的坐标.即=（x，y）aaa3、向量（或=（x，y））的求模公式：jyixaa22||yxa4、平面向量的直角坐标运算设，，则),(11yxa),(22yxb),(2121yyxxba),(2121yyxxba),(yxc),,(yxc设为一实数，则5、两个非零向量，),(11yxa),(22yxb2121//yyxxba6、已知两点则),(N),(M2211yxyx，),(1212yyxxMN已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。BAθ当θ＝180°时，a与b反向；OABO当θ＝0°时，a与b同向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。特别:0·a=0已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的内积（或数量积），记作a·ba·b=|a||b|cosθba,其中可以表示为（001800）OABθabB1θO投影||||cosababOθab||cosbab在上的投影：||cos0bOab||cos0bab||cos0b||cosaba在上的投影：||||cosabba数量积等于与投影的乘积。设是非零向量，的夹角，则ba与是|;|||)1(bababa同向时，与当特别地2||aaa2||||aaaa或||||cos)4(baba||||||)5(baba||||cosabab|;|||-)2(bababa同向时，与当0)3(baba时，当ba、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：cbcacbabababaabba))(3()()())(2()1(其中，cba、、是任意三个向量，R注：)()(cbacba例1、已知，求。例2、已知，，求。060,4||,5||baba2||||ba2bababababa求求：已知例,43)2(;,//)1(2,13，分两种情况：）由解：（ba//1;2,baba同向，当。反向，当2,baba143cos212ba）（例4已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例5已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°=25||,2||ba000060,45,30,000000180,150,135,120,90ba练习：已知，当分别为，时，求。例6：已知.,,,),1,3(),2,1(bababa求512)3()1(ba解：52)1(22a101)3(22b451800225105cosbaba21212121212122112211)()(),(),(yyxxjjyyijxyjiyxiixxjyixjyixyxyxba运用平面向量的坐标求内积两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即21212211),(),,(yyxxbayxbyxa则设)5,1(),2,3()1(ba)0,1(),2,0()3(ba11)5(12)3(2ba）（00)2(103ba）（)5,2(),1,3()2(ba75)2(131ba）解：（例1：求下列向量的内积随堂练习：求下列向量的内积)3,0(),3,2()2();2,1(),3,4()1(baba222221212121cosyxyxyyxxbaba由平面向量的内积定义可得，当两个向量为非零向量时新课讲解：例2：已知.,,,),1,3(),2,1(bababa求512)3()1(ba解：52)1(22a101)3(22b451800225105cosbaba随堂练习：babababa,,,,),2,0(),0,2(求已知课堂讨论：如何用坐标表示两个向量垂直？bayyxxyyxxbaba，则反之，若0002121212102121yyxxba即例5判断下列各组向量是否相互垂直：)3,0(),2,1()2();4,2(),3,6()1(babababa所以）因为解（,043)2(61不垂直。与所以因为baba,063)2(01)2(随堂练习：的值。求已知向量mOBOAmOBOA,),,3(),2,1(5.||3,||4,abkakbakb例已知当且仅当为何值时，向量与互相垂直？0abab()()0akbakb2220akb29160k34k思考交流：利用公式.),,(ayxa试求设2121yyxxba也可以计算向量的模。22222),(),(yxayxyxyxaaa所以课堂小结：（1）平面向量内积的坐标表示（2）对于给定两个向量的坐标的求模及它们的夹角（3）根据给定两个向量的坐标判断它们是否垂直问题解决如图所示，有一块不规则四边形草坪，其中有两条邻边互相垂直，量得四边长分别如图所示（单位：m）的内积；与的坐标表示用点CBCACxyOABC20304050课后作业：课本、指导用书