2第二讲：条件概率、全概率与独立性(16)

第二讲条件概率、全概率与独立性本次课讲授第一章第4，5节；下次课概括第一章，并讲授第二章第1,2节；下次上课时交作业P5－P8重点：加法公式、全概率等公式难点：公式运用。互换摩根了。子集导，差补交，并交积空补全了，并至少，交都好，互斥概括好了歌求积看坐标。几何概，度量比，作图原理少不了，古典概，量算好，加乘),()(,)(BPAPBA则：提示：三个常用结论：1BAABBBAAA)()2(BAABAABA)()3(第二讲加法公式条件概率与独立性)()()()()()(APAPBPAPBAPAB14尤其是，则)()1()()()()(21111121nnnkjikjinjijiniinAAAPAAAPAAPAPAAAP一般概率的加法公式，即：公式记忆也要有规律例1-3-2(90数一）____)(6.0)(,3.0)(,4.0)(BAPBAPBPAP，则已知1.06.03.04.0)()()()()()()()(BAPBPAPABPABPBPAPBAP解：)()()()]([)()(BAPABPBAABPBBAPAPAP又3.01.04.0)()()(ABPAPBAP第一讲古典概型与加法公式例1-3-3(92数一）全不发生的概率、、则求已知：CBABCPACPABPCPBPAP,161)()(,0)(,41)()()(定）路（否定之否定就是肯这是一种常用的解题思，便可求出所以只需要求出件的概率来求，因为分析：我们利用对立事).()(),()(APAPAPAP1，，的对立事件含义，一个发生，根据至少的有的对立事件是它们至少不发生不是全不发生，因此全们有一个发生，就全不发生，因为只要它、、为设)()()(CBAPDPDPCBADDDCBAD11第二讲加法公式条件概率与独立性)(851)(1)(________________ABCPCBAPCBAP,0)(,0))(ABCPABPABCP（又)(1611610414141)(ABCPCBAP由已知83851)(_______________CBAP第二讲条件概率、全概率与独立性例1-3-4设P(A)0，P(B)0，将下列四个数：P(A)、P(AB)、P(A∪B)、P(A)+P(B)用“≤”连接它们，并指出在什么情况下等号成立.解)()()(ABPBPAPBAP)()(BPAPBAP)(BAAAB)()()(BAPAPABP)()()()()(BPAPBAPAPABP时，当BA)()(APABP)()(BAPAP)()()(BPAPBAP时，当AB时，当AB第二讲条件概率、全概率与独立性事件并事件（大的）等于母事件，而子事件（小的）等于交若一个包含另一个，则例题1-3-5（94，3分）)(,)(),()(BPpAPBAPABPBA试求且两个事件满足条件、已知pAPBPBPAPBAPBPAPABPBPAPBAPBAP1)(1)(,1)()()()()(1)()()(-1)(1)()()()()(1)()(_________BAPBAPABPBAPBAPBAP代入上式，求：且解：由德摩根公式第二讲条件概率、全概率与独立性例题1-3-6（95数学一，3分）}0),{max(,74)()(;73)(},0{:};0{:YXPBPAPABPYBXA则求：已知设随机事件BAYXYXCYXC}0{}0{}0),max(},0),max(｛则：｛解：设事件.75737474}0,0{}0{}0{)()()()()(}0),{max(YXPYPXPABPBPAPBAPCPYXP第二讲条件概率、全概率与独立性一、条件概率与乘法公式1.条件概率定义发生的概率发生的条件下，事件已知事件为在为随机事件，称、设ABBPABPBAPBA)()()/(ABBABBAPPAPAP中讨论，即要在的概率，因此，分子也时的成压缩是把样本空间实际上）对比（)/(,)()()(1)()()/(2APABPABP）同样定义（1)/()/(3ABPABP知：）由条件概率公式可推（)()()(,BAPABPBAABPBAAB证：第二讲条件概率、全概率与独立性1)()]([)()()()()/()/(APBBAPAPABPAPBAPABPABP式：的一种求法，即乘法公出了是一难点，条件概率给求中）在加法公式（)()(,)()()()(4ABPABPABPBPAPBAP2.乘法公式：由条件概率定义可知：)/()()/()()(ABPAPBAPBPABP)/()/()/()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP限个事件的情形乘法公式容易推广到有(用归纳法自己证明)当n=3时，213121321AAAPAAPAPAAAP如第二讲条件概率、全概率与独立性求三次内取得合格品的概率.一批零件共100个,次品率为10％,每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回去,（1）求第三次才取得合格品的概率.（2）如果取得一个合格品后,就不再继续取零件，例2-1-1“第i次取得合格品”,设iA3,2,1i解“第i次取得次品”（i=1，2，3），则iA所求概率为321AAAP213121AAAPAAPAP所求事件为,321AAA（1）1001099998900083.0第二讲条件概率、全概率与独立性⑵设A表示事件“三次内取得合格品”,则A有下列几种情况:①第一次取到合格品,;1A②第二次才取到合格品,;21AAA1A21AA321AAA③第三次才取到合格品,,321AAA321211AAAPAAPAPAP2131211211AAAPAAPAPAAPAPAP100901001099900083.0.9993.0第二讲条件概率、全概率与独立性二、全概率公式及其逆概率公式发生的概率为：则事件和，若已知且，是互不相容的一组事件全概率公式定理：设ABPBAPBBBBiiinin),()/(,,,121nnBAPBPBAPBPBAPBPAP/)(/)(/)()(2211)(,,,,1121APAPBBBBBniiinin即两两互斥，证：nBBBAP21例2-1-2(06数学一，4分）);()()();()()();()()();()()(,1)/(,0)(BPBAPDAPBAPCBPBAPBAPBAPABAPBPBA）则必有（为随机事件，且、设CAPBAPBPBAPBPABPABPBPAPBAP故选所以而乘法公式：分析：根据加法公式与),()(),()/()()(),()()()(第二讲条件概率、全概率与独立性nABPABPABP21加法定理nnBAPBP11BAPBP22BAPBP乘法定理的和组成；段由互斥的的情形，第一个步骤阶事件阶段完成一个用于分两个步骤或两个说明：全概率公式多应nBBBA,,,21nABABABP21发生的概率为：条件下发生则事件和，若已知且，是互不相容的一组事件贝叶斯定理：设iiiininBABPBAPBBBB),()/(,,,121第二讲条件概率、全概率与独立性例2-2-1,(93数学一）12个产品中有2个次品，，无放回连续取2次，求第二次取到次品的概率：第二次取到次品｝；则第一次取到次品第一次取到正品｝，解：令{}{{21ABB)/()()/()()(2211BAPBPBAPBPAP61)1111110(1221111221121210叫做试验后的假设概率，简称验后概率,)|(1ABPi）（说明：全概率公式的条件一样）逆概率公式的条件和（2分析率也一样，按照两步来因此事件的分析和全概的可能性，来推断第一步的）逆概率是利用全概率（iBAP)(3第二讲条件概率、全概率与独立性例2-2-2(05数学一）从1，2，3，4中任取一个数记为X,再从1，…，X中任取一个数记为Y,试求P(Y=2))()/()()(,,24,3,2,1,432141APBAPBPAPXYYAiiXBiiii计算出由全概率公式则：为第二次取出数，然后个数中取一，，，是从两步：首先，设分析：完成这一事件分)/()()/()()/()()/()()(44332211BAPBPBAPBPBAPBPBAPBPAP解：)4/2()4()3/2()3()2/2()2()1/2()1(xyPxPxyPxPxyPxPxyPxP4813414131412141041第二讲条件概率、全概率与独立性例2-2-3(96数学一）设工厂A和工厂B产品的次品率分别为1％和2％，现从由A和B的产品分别占60％与40％的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是————抽取的产品是次品｝检查次品，即令第二步在抽取的产品中的产品｝；｛抽取的产品是工厂的产品｝，则是工厂｛抽取的产品：第一步抽取产品：设解：将该事件分成两步{121CBBBAB02.0)/(,01.0)/(,4.0)(,6.0)(1111BCPBCPBPBP由已知：)/()()/()()/()()/(1111111BCPBPBCPBPBCPBPCBP)()()/(),/(111CPCBPCBPCBP且由逆概率公式，本题即求7302.04.001.06.001.06.0第二讲条件概率、全概率与独立性例2-2-4发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“-”，由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“·”及“-”；又当发出信号“-”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“-”及·”，求1）当收报台收到信号“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率；2）当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率。设表示发报台发出信号“·”，1A设表示发报台发出信号“-”。2AB表示收报台收到信号“·”，C表示收报台收到信号“-”，)./(),/(,,.,,.2121CAPBAPCBAA则本题要求：，分别设为第二步收到信号，分别设为：第一步发出信号解：完成该事件分两步第二讲条件概率、全概率与独立性（1）BAP|1221111|||ABPAPABPAPABPAP1.04.08.06.08.06.0.932.0（2）CAP|2221122|||ACPAPACPAPACPAP9.04.02.06.09.04.0.75.0,6.01AP由已知：,4.02AP1|ABP,8.02|ABP,1.01|ACP2|ACP.9.0,2.0概括：全概两步要走好，首步互斥要全了，责任推断贝叶斯，乘法全概都用了。第二讲条件概率、全概率与独立性三、随机事件的独立性1.独立性定义BPAPABP则称事件A与事件B相互独立，简称独立（1）对任意两个事件A、B,若定义，由此推得独立的等价)/()()()(),/()()()(),()()(ABPAPABPBPBAPBPABPAPBPAPABP同理，