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习题答案第1章三、解答题1.设P(AB)=0,则下列说法哪些是正确的?(1)A和B不相容;(2)A和B相容;(3)AB是不可能事件;(4)AB不一定是不可能事件;(5)P(A)=0或P(B)=0(6)P(A–B)=P(A)解:(4)(6)正确.2.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,问:(1)在什么条件下P(AB)取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P(AB)取到最小值,最小值是多少?解:因为)()()()(BAPBPAPABP,又因为)()(BAPBP即.0)()(BAPBP所以(1)当)()(BAPBP时P(AB)取到最大值,最大值是)()(APABP=0.6.(2)1)(BAP时P(AB)取到最小值,最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3.3.已知事件A,B满足)()(BAPABP,记P(A)=p,试求P(B).解:因为)()(BAPABP,即)()()(1)(1)()(ABPBPAPBAPBAPABP,所以.1)(1)(pAPBP4.已知P(A)=0.7,P(A–B)=0.3,试求)(ABP.解:因为P(A–B)=0.3,所以P(A)–P(AB)=0.3,P(AB)=P(A)–0.3,又因为P(A)=0.7,所以P(AB)=0.7–0.3=0.4,6.0)(1)(ABPABP.5.从5双不同的鞋子种任取4只,问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?解:显然总取法有410Cn种,以下求至少有两只配成一双的取法k:法一:分两种情况考虑:15Ck24C212)(C+25C其中:2122415)(CCC为恰有1双配对的方法数法二:分两种情况考虑:!2161815CCCk+25C其中:!2161815CCC为恰有1双配对的方法数法三:分两种情况考虑:)(142815CCCk+25C其中:)(142815CCC为恰有1双配对的方法数法四:先满足有1双配对再除去重复部分:2815CCk-25C法五:考虑对立事件:410Ck-45C412)(C其中:45C412)(C为没有一双配对的方法数法六:考虑对立事件:!4141618110410CCCCCk其中:!4141618110CCCC为没有一双配对的方法数所求概率为.2113410Ckp6.在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任取3人记录其纪念章的号码.求:(1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概率.解:(1)法一:12131025CCp,法二:1213102513AACp(2)法二:20131024CCp,法二:2013102413AACp7.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率.解:设M1,M2,M3表示杯子中球的最大个数分别为1,2,3的事件,则834)(3341AMP,1694)(324232ACMP,1614)(3143CMP8.设5个产品中有3个合格品,2个不合格品,从中不返回地任取2个,求取出的2个中全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少?解:设M2,M1,M0分别事件表示取出的2个球全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品,则3.0)(25232CCMP,6.0)(2512131CCCMP,1.0)(25221CCMP9.口袋中有5个白球,3个黑球,从中任取两个,求取到的两个球颜色相同的概率.解:设M1=“取到两个球颜色相同”,M1=“取到两个球均为白球”,M2=“取到两个球均为黑球”,则2121MMMMM且.所以.2813CCCC)()()()(282328252121MPMPMMPMP10.若在区间(0,1)内任取两个数,求事件“两数之和小于6/5”的概率.解:这是一个几何概型问题.以x和y表示任取两个数,在平面上建立xOy直角坐标系,如图.任取两个数的所有结果构成样本空间={(x,y):0x,y1}事件A=“两数之和小于6/5”={(x,y):x+y6/5}因此2517154211)(2的面积的面积AAP.图?11.随机地向半圆220xaxy(a为常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,求原点和该点的连线与x轴的夹角小于4的概率.解:这是一个几何概型问题.以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标,表示原点和该点的连线与x轴的夹角,在平面上建立xOy直角坐标系,如图.随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间={(x,y):220,20xaxyax}事件A=“原点和该点的连线与x轴的夹角小于4”={(x,y):40,20,202xaxyax}因此211214121)(222aaaAAP的面积的面积.12.已知21)(,31)(,41)(BAPABPAP,求)(BAP.解:,1213141)()()(ABPAPABP,6121121)|()()(BAPABPBP.311216141)()()()(ABPBPAPBAP13.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率是多少?解:题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品,则两件均为不合格品的概率”。设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”,B=“两件均为不合格品”;321)(1)(21026CCAPAP,152)(21024CCBP,5132/152)()()()()|(APBPAPABPABP14.有两个箱子,第1箱子有3个白球2个红球,第2个箱子有4个白球4个红球,现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出一个球,此球是白球的概率是多少?已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少?解:设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”,B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”,则52)(,53)(1512APCCAP,由全概率公式得,45235253)|()()|()()(19141915CCCCABPAPABPAPBP由贝叶斯公式得.23154523/53)()|()()|(1915CCBPABPAPBAP15.将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误收作B的概率为0.02,而B被误收作A的概率为0.01,信息A与信息B传送的频繁程度为2:1,若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少?解:设M=“原发信息是A”,N=“接收到的信息是A”,已知,01.0)|(,02.0)|(MNPMNP.32)(MP所以,99.0)|(,98.0)|(MNPMNP,31)(MP由贝叶斯公式得.197196)01.03198.032(98.032)|()()|()()|()()|(MNPMPMNPMPMNPMPNMP16.三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为41,31,51,问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?解:设Ai=“第i个人能破译密码”,i=1,2,3.已知,41)(,31)(,51)(321APAPAP所以,43)(,32)(,54)(321APAPAP至少有一人能将此密码译出的概率为.534332541)()()(1)(1221321APAPAPAAAP17.设事件A与B相互独立,已知P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,求)(ABP.解:由于A与B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B),且P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)将P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7代入上式解得P(B)=0.5,所以.5.05.01)(1)()()(1)()(1)(1)(BPAPBPAPAPABPABPABP或者,由于A与B相互独立,所以A与B相互独立,所以.5.05.01)(1)()(BPBPABP18.甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率是多少?解:设A=“甲射击目标”,B=“乙射击目标”,M=“命中目标”,已知P(A)=P(B)=1,,5.0)(,6.0)(BMPAMP所以).()()()()(ABPBAPBAPABBABAPMP由于甲乙两人是独立射击目标,所以.8.05.06.05.04.05.06.0)()()()()()()(BPAPBPAPBPAPMP75.08.06.01)()|()()()()|(MPAMPAPMPAMPMAP19.某零件用两种工艺加工,第一种工艺有三道工序,各道工序出现不合格品的概率分别为0.3,0.2,0.1;第二种工艺有两道工序,各道工序出现不合格品的概率分别为0.3,0.2,试问:(1)用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些?(2)第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时,情况又如何?解:设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”,i=1,2,3;Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”,i=1,2.(1)根据题意,P(A1)=0.7,P(A2)=0.8,P(A3)=0.9,P(B1)=0.7,P(B2)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=,504.09.08.07.0第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)=P(B1)P(B2)=,56.08.07.0可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。(2)根据题意,第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504,而P(B1)=P(B2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1B2)=P(B1)P(B2)=.49.07.07.0可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。1.设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件ABC=,,21)()()(CPBPAP且已知169)(CBAP,求P(A).解:因为ABC=,所以P(ABC)=0,因为A,B,C两两相互独立,),()()(CPBPAP所以2)]([3)()()()()()()()()(APCPAPCPBPBPAPACPBCPABP由加法公式)()()()()()()()(ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP得169)]([3)(32APAP即0]1)(4][3)(4[APAP考虑到,21)(AP得.41)(AP2.设事件A,B,C的概率都是21,且)()(CBAPABCP,证明:21)()()()(2BCPACPABPABCP.证明:因为)()(CBAPABCP,所以)]()()()()()()([1)(1)(ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAPABCP将21)()()(CPBPAP代入上式得到)]()()()(23[1)(ABCPACPBCPABPABCP整理得.21)()()()(2ACPBCPABPABCP3.设0P(A)1,0P(B)1,P(A|B)+1)|(BAP,试证A与B独立.证明:因为P(A|B)+1)|(BAP,所以,1)(1)(1)()()()()()(BPBAPBPABPBPBAPBPABP将)()()()(ABPBPAPBAP代入上式得,1)(1)()()(1)()(BPABPBPAPBPABP两边同
本文标题:概率论与数理统计答案
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