概率论与数理统计课件-11

第11章区间估计这就是区间估计。值率包含参数的真明这个区间以多大的概并且说这就需要给出一个区间靠程度真值的可包含取值范围以及这个区间的人们还希望估计出实际上的误差相对于真值但未能给出近似值似值的一个近点估计仅仅给出了参数,,,,.ˆ,ˆ第1节置信区间置信区间的定义。或置信度称为置信水平信上限，　分别称为置信下限和置和置信区间的的置信水平为是则称区间　满足若有统计量　给定的样本为参数其中含有未知的分布为设总体)(1,1,,1)(:),,,(),,,(),10(.,),,(212121PXXXXXXX,X,,XXxfXnnn随机区间。它是而不同随着样本值的不同置信区间　,,)1(注：。的概率为真值落入区间，而不是为的真值的概率包含是指置信区间1],[1],[,1)()2(P双侧置信区间第2节正态总体下的置信区间单个正态总体N(μ,σ²)的情形定理设是总体的样本，nXXX,,,21),(2N分别是样本均值与样本方差，则有2,SX1X～),(2nN222nS～)1(2n3独立与2SX复习的无偏估计。体方差是总修正样本方差的无偏估计；不是总体方差样本方差的无偏估计；是总体均值样本均值，则未知参数和的期望和方差为总体的样本是来自总体定理：设221222221)(11*)3()2()1()(,,...,,XXnSSXXXXXXniin复习置信区间的求参数已知时1,.12一、均值μ的估计.),(,,221的样本是取自总体设NXXXn分析：),(2nN~)(XnU则)1,0(N~XX的无偏估计，且是1P21u21u21uU22~)(XnU)1,0(N21)(uXn2121unXunX得的范围，中即求21)(uXn置信区间为置信水平为的故1)(2121,unXunX解例1某企业生产的滚珠直径X~N(,0.0006),现从中随机抽取6颗检测，测得它们的直径为1.46,1.51,1.49,1.48,1.52,1.51,试求滚珠平均直径的置信水平为95%的置信区间.已知，故0006.02的置信区间为的置信水平为12121,unXunX1,95.0,05.0,0006.02这里置信水平的置信区间为的置信水平为%952121,unXunX,6n,495.1x21u通过查表知975.0u96.1即96.160006.0495.1,96.160006.0495.15146.1,4754.1这就是说滚珠的平均直径估计在这个区间的可信度为95%，或者说这个区间属于包含μ真值的区间集合的概率为95%.置信区间的求参数未知时1,.22分析：~XX的无偏估计，且是),(2nN~)(Xn则)1,0(N)1(~2*nS的无偏估计，且是22*)1(Sn*)(SXnT则)1(~nt1P)1(21nt)1(21nt)1()(21*ntSXn22)1()1(21*21*ntnSXntnSX得的范围，中即求)1()(21*ntSXn置信区间为置信水平为的故1)()1(),1(21*21*ntnSXntnSX正态总体N(μ,σ²)均值μ的区间估计已知，2的置信区间为的置信水平为12121,unXunX)1(),1(21*21*ntnSXntnSX未知，2解上例1某企业生产的滚珠直径X~N(,),现从中随机抽取6颗检测，测得它们的直径为1.46,1.51,1.49,1.48,1.52,1.51,试求滚珠平均直径的置信水平为95%的置信区间.未知，故2的置信区间为的置信水平为1)1(),1(21*21*ntnSXntnSX1,95.0,05.0这里置信水平的置信区间为的置信水平为%95,6n,495.1x)1(21nt通过查表知)5(975.0t5706.2)1(),1(21*21*ntnSXntnSX,0226.0*s即5706.260226.0495.1,5706.260226.0495.15187.1,4715.1置信区间的求参数已知时1,.12二、方差σ²的估计.),(,,221的样本是取自总体设NXXXn分析：~ˆ222n则)(2n,)(1ˆ2122的无偏估计是niiXn22)(22n)(221n1P)(ˆ)(2212222nnn置信区间为置信水平为的故1)(2的范围，中即求22212222)(ˆ)(nnn)(ˆ)(ˆ22222212nnnn得)(ˆ,)(ˆ2222212nnnn置信区间的求参数未知时1,.22分析：~)1(22*2Sn则)1(2n,)(112122*的无偏估计是niiXXnS22)1(22n)1(221n1P)1()1()1(22122*22nSnn置信区间为置信水平为的故1)(2的范围，中即求222122*22)1()1()1(nSnn)1()1()1()1(222*22212*nSnnSn得)1()1(,)1()1(222*2212*nSnnSn可写为)1()1(,)1()1(222*2212*nSnnSn)1(,)1(2222212nnSnnS正态总体N(μ,σ²)方差σ²的区间估计已知，的置信区间为的置信水平为12未知，)1(,)1(2222212nnSnnS)(ˆ,)(ˆ2222212nnnn总结解例3从自行车床加工的一批零件中随机地抽取16件，测得各零件的长度如下(cm)：2.152.102.122.102.142.112.152.132.132.112.142.132.122.132.102.14设零件长度服从正态分布N(,)，试求零件长度方差σ²的置信水平为95%的置信区间.未知，故的置信区间为的置信水平为121,95.0,05.0这里置信水平,16n,125.2x)1(221n通过查表知)15(2975.0488.27,000275.02s)1(,)1(2222212nnSnnS)1(22n)15(2025.0262.6即00070.0,00016.0的置信区间为的置信水平为故%952262.6000275.016,488.27000275.016正态总体N(μ,σ²)均值μ的区间估计已知，2的置信区间为的置信水平为12121,unXunX)1(),1(21*21*ntnSXntnSX未知，2总结正态总体N(μ,σ²)方差σ²的区间估计已知，的置信区间为的置信水平为12未知，)1(,)1(2222212nnSnnS)(ˆ,)(ˆ2222212nnnn总结