概率论与数理统计课件15

1性质1:若X=C，C为常数，则Var(X)=0.B.方差的性质性质2:若b为常数,随机变量X的方差存在，则bX的方差存在，且Var(bX)=b2Var(X)Var(aX+b)=a2Var(X)结合性质1与性质2就有2若随机变量X1,X2,…,Xn的方差都存在，则X1+X2+...+Xn的方差存在，且若随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，则性质4:n＝2时就有性质3:ninjjijiniiEXEXXXEXVar111])([)()()()(11nnXVarXVarXXVarVar(XY)=Var(X)+Var(Y)2E(X-EX)(Y-EY)若X,Y独立，Var(XY)=Var(X)+Var(Y)3注：以后若无特殊说明，都认为随机变量的方差大于0。性质5:对任意常数C,Var(X)E(X–C)2,等号成立当且仅当C=E(X).性质6:Var(X)=0P(X=E(X))=1称X以概率1等于常数E(X).4例1.设X~B(n,p)，求Var(X).解：引入随机变量次试验失败。第次试验成功，第iiXi,0,1故)1()()(1pnpXVarXVarniiniiXX1则.,,2,1),1()(nippXVari由于相互独立，nXXX,,,21且5例2.标准化随机变量设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称)()(XDXEXX为X的标准化随机变量.显然，1)(,0)(XDXE6则:.1)(1)(1)1(,)(1)(1)1(212121111nXVarnXVarnXnVarXEnXEnXnEniiniiniiniiniinii例3.设X1,X2,…,Xn相互独立，有共同的期望和方差，2.1)1(,)1(211nXnVarXnEniinii证明:7例4.已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+…+Xn.求E(Y2).解：由已知，则有nYDYDYDYDYEYEYEYEnn)()()()(0)()()()(2121.)()()(22nYEYDYE因此，8例5.设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1,2),Y～N(0,1),试求Z=2X-Y+3的期望和方差。由已知，有E(X)=1,D(X)=2,E(Y)=0,D(Y)=1,且X和Y独立。因此，D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9.E(Z)=2E(X)－E(Y)+3=2+3=5,解:注：由此可知Z～N（5,9）。9则且相互独立，若,,2,1),,(~2niNXiii.,~12212211niiiniiinnCCCNCXCXCXC的常数。是不全为这里，0C,,C,Cn21思考：为什么？一般地，10C.两个不等式定理3.2(马尔可夫(Markov)不等式)：对随机变量X和任意的0，有.0,||1}|{|XEXP证明:设为连续型,密度函数为f(x),则)|(|)()()()()(||)(||)(||||XPXPXPdxxfdxxfdxxfxdxxfxdxxfxXE11上式常称为切比雪夫（Chebyshev）不等式222)(|)(|1}|)({|XVarXEXEXEXP在马尔可夫不等式中取α=2,X为X-EX得是概率论中的一个基本不等式.12例6.已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a，使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解：由切比雪夫不等式201.0)|1(|aaXP令1.001.02a1.02a32.0a13例7.在每次试验中，事件A发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74～0.76之间的概率至少为0.90?解:设X为n次试验中事件A出现的次数，的最小的n.900760740.)..(nXP则X~B(n,0.75).而所求为满足于是，E(X)=0.75n,Var(Y)=0.75*0.25n=0.1875n。14=P(-0.01nX-0.75n0.01n)2)01.0()(1nXVar=P{|X-E(X)|0.01n}20001.01875.01nnn18751P(0.74nX0.76n))76.074.0(nXP)76.074.0(nXP可改写为在切比雪夫不等式中取n，则0.01=P{|X-E(X)|0.01n}15187509.011875n解得依题意，取9.018751n即n取18750时，可以使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90.16定理3.3(内积不等式或Cauchy-Schwarz不等式)设EX2∞，EY2∞则有.|)(|22EYEXXYE证明:注意到对任意的t,有0)()2()(2)(2222222YtXEYtXYXtEEYtXYEtEXtg所以g(t)作为t的二次多项式,其判别式≤0,即04)](2[42222EYEXXYEacb.|)(|22EYEXXYE17§4.4协方差和相关系数问题对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系.问题是用一个什么样的数去反映这种联系.))())(((YEYXEXE数反映了随机变量X,Y之间的某种关系18定义称))())(((YEYXEXE为X,Y的协方差.记为))())(((),cov(YEYXEXEYX可以证明协方差矩阵为半正定矩阵A.协方差和相关系数为（X,Y）的协方差矩阵称)(),cov(),cov()(YVarXYYXXVar19若Var(X)0,Var(Y)0,称)()(),cov()()()())(((YVarXVarYXYVarXVarYEYXEXE为X,Y的相关系数，记为)()(),cov(YVarXVarYXXY事实上，),cov(YXXY若,0XY称X,Y不相关.无量纲的量20利用函数的期望或方差计算协方差若(X,Y)为离散型，ijijjipYEyXExYX11))())(((),cov(若(X,Y)为连续型，dxdyyxfYEyXExYX),())())(((),cov()()()(),cov(YEXEXYEYX)()()(21YDXDYXD21求cov(X,Y),XY10pqXP10pqYP例8.已知X,Y的联合分布为XYpij1010p00q0p1p+q=1解:10pqXYP22,)(,)(,)(,)(pqYVarpqXVarpYEpXE,)(pXYE.1)()(),cov(,)()()(),cov(YVarXVarYXpqYEXEXYEYXXY23例9.设(X,Y)~N(1,12,2,22,),求XY解:dxdyyxfyxYX),())((),cov(21dsdtestttstysx222221121)()1(2122112令dudteutttuuts22221)1(2221)(12令24dtetduetu222212)1(22211221XY定理：若(X,Y)~N(1,12,2,22,),则X,Y相互独立X,Y不相关因此，25例10.设~U(0,2),X=cos,Y=cos(+),是给定的常数，求XY解:其他,20,21)(ttf,021)cos()(,021cos)(2020dttYEdttXE26cos2121)cos()cos()(20dtttXYEcos21),cov(YX,2121)(cos)(,2121cos)(20222022dttYEdttXE,21)(,21)(YVarXVarcosXY27协方差的性质)()()(),cov(),cov(YEXEXYEXYYX),cov(),cov(YXabbYaX),cov(),cov(),cov(ZYZXZYX)(),cov(XVarXX)()(|),cov(|2YVarXVarYX当且仅当1)))(()((0XEXtYEYP时，等式成立—Cauchy-Schwarz不等式协方差和相关系数的性质28相关系数的性质1||XY1||XYCauchy-Schwarz不等式的等号成立即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为1)()()()(XDXEXYDYEYP290XYX,Y不相关0),cov(YX)()()(YEXEXYE)()()(YVarXVarYXVar注：X与Y不相关仅仅是不线性相关，可以非线性相关。30X,Y相互独立X,Y不相关若X,Y服从二维正态分布，X,Y相互独立X,Y不相关31若X,Y是两个随机变量，用X的线性函数去逼近Y所产生的均方误差为2)]([baXYE当取)()()()()(ˆ)(ˆ,)()()(),cov(ˆXEXDYDYEXEaYEbXDYDXDYXaXYXY使得均方误差最小.例：最小二乘法的思想若则线性逼近无意义。为什么？,0XY32例11.设(X,Y)~N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求XZ解:,4)()(,1)()(YVarXVarYEXE2),cov(,21YXXY6),cov(),cov(),cov(YXXXZX12),cov(2)()()()(YXYVarXVarYXVarZVar231226XZ33例12：设XN(0,4),YP(2),XY=1/2,求E(X+Y)2.解:E(X+Y)2=[E(X+Y)]2+Var(X+Y)注意到=[EX+EY)]2+Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y)把条件代入即得E(X+Y)2=)()(),cov(YVarXVarYXXY由题设知:EX=0,Var(X)=4,EY=2,Var(Y)=2,XY=1/2,而221034设二维随机变量(X,Y),k,l为非负整数。mk=E(Xk)称为X的k阶原点矩，k=E(X-E(X))k称为X的k阶中心矩，mkl=E(XkYl)称为X和Y的(k,l)阶混合原点矩，kl=E[(X-E(X))k(Y-E(Y))l]称为X和Y的(k,l)阶混合中心矩.显然数学期望为1阶原点矩,方差为2阶中心矩,而协方差为(1,1)阶混合中心矩.矩35例13.设X服从N(0,1)分布，求E(X3),E(X4)。,02)(2332dxexXExdxexXEx24422)(dxexx2222332221)(xexf解：X的密度函数为：注：此例是128页4.17的特例。2322xdex36作业:128页:4.12;4.16(2);4.26;4.28。