高考数学总复习 第十三篇 算法初步、推理与证明、复数 第4讲 数学归纳法课件 理

【2014年高考浙江会这样考】1．数学归纳法的原理及其步骤．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．2．数学归纳法可能会与数列、不等式等内容相结合考查．与数列相结合的题目，一般会采取“归纳——猜想——证明”的命题思路，以解答题的形式出现，难度较大，为中高档题．第4讲数学归纳法考点梳理1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．一般结论2．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．k＋1【助学·微博】一种表示数学归纳法的框图表示两个防范数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点：(1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．(2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n＝k＋1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法．第二步关键是“一凑假设，二凑结论”．解析边数最少的凸n边形是三角形．答案C考点自测1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于()．A．1B．2C．3D．02．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得()．A．n＝6时该命题不成立B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立D．n＝4时该命题成立解析其逆否命题“若当n＝k＋1时该命题不成立，则当n＝k时也不成立”为真，故“n＝5时不成立”⇒“n＝4时不成立”．答案C3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是()．A．2k＋2B．2k＋3C．2k＋1D．(2k＋2)＋(2k＋3)解析当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边是共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．答案D答案C4．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为()．A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a35．(2013·长春一模)已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)n2时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.解析∵f(2k＋1)＝1＋12＋13＋14＋…＋1k＋1k＋1＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1，f(2k)＝1＋12＋13＋14＋…＋1k＋1k＋1＋…＋12k，∴f(2k＋1)－f(2k)＝12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1.答案12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1[审题视点]根据数学归纳法的步骤证明．考向一用数学归纳法证明等式【例1】►求证：12＋22＋…＋n2＝nn＋12n＋16.证明(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1·1＋12＋16＝1，左边＝右边，等式成立；(2)假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即12＋22＋…＋k2＝kk＋12k＋16，则当n＝k＋1时，12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝kk＋12k＋16＋(k＋1)2＝k＋1[k＋1＋1][2k＋1＋1]6所以当n＝k＋1时，等式仍然成立．由(1)、(2)可知，对于∀n∈N*等式恒成立．[方法锦囊](1)用数学归纳法证明等式其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是几；(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．【训练1】用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，11×3＋13×5＋…＋12n－12n＋1＝n2n＋1.证明(1)当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＝k2k＋1，则当n＝k＋1时，11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋3＋12k＋12k＋3＝2k2＋3k＋12k＋12k＋3＝k＋12k＋3＝k＋12k＋1＋1，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．[审题视点]本题用数学归纳法证明不等式，在推理过程中用放缩法，要注意放缩的“度”．考向二用数学归纳法证明不等式【例2】►(2012·昆明模拟)用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋131＋15·…·1＋12n－12n＋12均成立．证明(1)当n＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边右边，∴不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即1＋131＋15·…·1＋12k－12k＋12.则当n＝k＋1时，1＋131＋15·…·1＋12k－11＋12k＋1－12k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋14k2＋8k＋322k＋1＝2k＋32k＋122k＋1＝2k＋1＋12.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．[方法锦囊]应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．解∵f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－1.∵函数g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在区间[1，＋∞)上单调递增，于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，进而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1＞23－1，由此猜想：an≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想：【训练2】已知函数f(x)＝13x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试比较11＋a1＋11＋a2＋11＋a3＋…＋11＋an与1的大小，并说明理由．①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1，则当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调递增知，ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1时，结论也成立．由①、②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1.即1＋an≥2n，∴11＋an≤12n，∴11＋a1＋11＋a2＋11＋a3＋…＋11＋an≤12＋122＋123＋…＋12n＝1－12n＜1.考向三归纳、猜想、证明【例3】►在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝12an＋1an.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．[审题视点](1)数列{an}的各项均为正数，且Sn＝12an＋1an，所以可根据解方程求出a1，a2，a3；(2)观察a1，a2，a3猜想出{an}的通项公式an，然后再证明．解(1)S1＝a1＝12a1＋1a1，得a21＝1.∵an0，∴a1＝1，由S2＝a1＋a2＝12a2＋1a2，得a22＋2a2－1＝0，∴a2＝2－1.又由S3＝a1＋a2＋a3＝12a3＋1a3，得a23＋22a3－1＝0，∴a3＝3－2.(2)猜想an＝n－n－1(n∈N*)证明：①当n＝1时，a1＝1＝1－0，猜想成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝k－k－1，则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝12ak＋1＋1ak＋1－12ak＋1ak，即ak＋1＝12ak＋1＋1ak＋1－12k－k－1＋1k－k－1＝12ak＋1＋1ak＋1－k，∴a2k＋1＋2kak＋1－1＝0，∴ak＋1＝k＋1－k.即n＝k＋1时猜想成立．由①②知，an＝n－n－1(n∈N*)．[方法锦囊]利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．【训练3】(2013·绵阳一模)已知数列{xn}满足x1＝12，xn＋1＝11＋xn，n∈N*.(1)猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|xn＋1－xn|≤1625n－1.(1)解由x1＝12及xn＋1＝11＋xn，得x2＝23，x4＝58，x6＝1321，由x2x4x6猜想：数列{x2n}是递减数列．下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，已证命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即x2kx2k＋2，易知xk0，那么x2k＋2－x2k＋4＝11＋x2k＋1－11＋x2k＋3＝x2k＋3－x2k＋11＋x2k＋11＋x2k＋3＝x2k－x2k＋21＋x2k1＋x2k＋11＋x2k＋21＋x2k＋30，即x2(k＋1)x2(k＋1)＋2.也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．结合(1)和(2)知命题成立．(2)证明当n＝1时，|xn＋1－xn|＝x2－x1＝16，结论成立．当n≥2时，易知0xn－11，∴1＋xn－12，xn＝11＋xn－112，∴(1＋xn)(1＋xn－1)＝1＋11＋xn－1(1＋xn－1)＝2＋xn－1≥52，∴|xn＋1－xn|＝11＋xn－11＋xn－1＝|xn－xn－1|1＋xn1＋xn－1≤25|xn－xn－1|≤252|xn－1－xn－2|≤…≤25n－1|x2－x1|＝1625n－1.规范解答21数学归纳法的应用【命题研究】用数学归纳法证明与自然数n有关的不等式问题时，常以数列与不等式的综合为主线，同时考查数列递推关系、不等式证明、不等式性质等．在证明时，比较法、放缩法、分析法、反证法等证明不等式的方法在此都可使用，有时还要考虑与原不等式等价的命题．【真题探究】►(本小题满分12分)(2012·大纲全国卷改编)函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．(1)证明：2≤xnxn＋13；(2)设bn＝xn－3，求数列{bn}的通项公式．[教你审题](1)先从函数入手，表示出直线方程．从而得到交点坐标，再利用数学归纳法证明2≤xnxn＋13.(2)由(1)得xn＋1＝3＋4xn2＋xn.则xn＋1－3＝3＋4xn2＋xn－3，可得1bn＋1＝5bn＋1，再利用构造法求通项bn.[规范解答](1)证明用数学归纳法证明：2≤xnxn＋13.①当n＝1时，x1＝2，直线PQ1的方程为y－5＝f2－52－4(x－4)，令y＝