高考数学总复习 第四章第1课时 平面向量的概念及其线性运算课件 理

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1课时平面向量的概念及其线性运算教材回扣夯实双基基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有______又有______的量,向量的大小叫做向量的______(或模).(2)零向量：长度为_____的向量，其方向是________的．大小方向长度0任意(3)单位向量：长度等于______________的向量．(4)平行向量：方向____________的______向量．(5)相等向量：长度______且方向______的向量．(6)相反向量：长度______且方向______的向量．1个单位长度相同或相反非零相等相同相等相反2．向量的加法与减法(1)加法①法则：服从三角形法则和平行四边形法则．②性质：a＋b＝________(交换律)；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)；a＋0＝0＋a＝a.(2)减法：减法与加法互为逆运算，服从三角形法则．b＋a3．实数与向量的积(1)|λa|＝________.(2)当_______时，λa与a的方向相同；当_______时，λa与a的方向相反；当λ＝0时,λa＝____.(3)运算律：设λ，μ∈R，则：①λ(μa)＝_______a；λ＞0λ＜0(λμ)|λ||a|0②(λ＋μ)a＝___________；③λ(a＋b)＝___________.4．两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得________.λa＋μaλa＋λbb＝λa思考探究如何用向量法证明三点A、B、C共线？提示：首先求出AB→、AC→，然后证明AB→＝λAC→(λ∈R)，即AB→与AC→共线即可．课前热身1．设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是()A．a0＝b0B．a0·b0＝1C．|a0|＋|b0|＝2D．|a0＋b0|＝2解析：选C.因为是单位向量，所以|a0|＝1，|b0|＝1.2.如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A.AB→＝DC→B.AD→＋AB→＝AC→C.AB→－AD→＝BD→D.AD→＋CB→＝0解析：选C.A显然正确，由平行四边形法则知B正确．C中AB→－AD→＝DB→，所以错误．D中AD→＋CB→＝AD→＋DA→＝0.3．化简：112[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]＝________.答案：－a＋2b4．若a＝“向东走8km”，b＝“向北走8km”，则|a＋b|＝________；a＋b的方向是________．解析：根据向量加法的几何意义，|a＋b|表示以8km为边长的正方形的对角线长，∴|a＋b|＝82，a＋b的方向是东北方向．答案：82东北方向考点探究讲练互动考点突破平面向量的基本概念①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；例1③向量AB→与向量CD→共线，则A、B、C、D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.以上命题中正确的个数为()A．1B．2C．3D．0【解析】①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如果b＝0时，则a与c不一定共线．所以应选D.【答案】D【题后感悟】准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性,两个向量方向相同或相反就是共线向量,与向量长度无关．两个向量方向相同且长度相等，才是相等向量．共线向量和相等向量均与向量起点无关．备选例题(教师用书独具)设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3例【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.【答案】D变式训练1．给出下列命题：(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．(3)λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．(4)λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.(1)错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．(2)正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．(3)错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.(4)错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．平面向量的线性运算(2010·高考四川卷改编)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|BC→|＝4，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，则|AM→|＝()A．8B．4C．2D．1例2【解析】∵|BC→|＝4，∴|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|＝|－BC→|＝4，而|AB→＋AC→|＝2|AM→|，故|AM→|＝2.【答案】C【题后感悟】三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则；当M为BC中点时，AM→＝12(AB→＋AC→)应作为公式记住．互动探究2．试判断本例中△ABC的形状．解：设计算AB→＋AC→时的平行四边形为▱ACDB，则由|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|知平行四边形为矩形，∴AC⊥AB，故△ABC为直角三角形．备选例题(教师用书独具)如图，以向量OA→＝a，OB→＝b为邻边作▱OADB，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，用a，b表示OM→，ON→，MN→.例【解】∵BA→＝OA→－OB→＝a－b，BM→＝16BA→＝16a－16b，∴OM→＝OB→＋BM→＝16a＋56b.∵OD→＝a＋b，∴ON→＝OC→＋13CD→＝12OD→＋16OD→＝23OD→＝23a＋23b，∴MN→＝ON→－OM→＝23a＋23b－16a－56b＝12a－16b.综上，OM→＝16a＋56b，ON→＝23a＋23b，MN→＝12a－16b.设e1，e2是两个不共线向量，已知AB→＝2e1－8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若BF→＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．平面向量的共线问题例3【解】(1)证明：由已知得BD→＝CD→－CB→＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵AB→＝2e1－8e2，∴AB→＝2BD→.又AB、BD存在公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)由(1)可知BD→＝e1－4e2，且BF→＝3e1－ke2，令BF→＝λBD→，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得λ＝3，－k＝－4λ.∴k＝12.【题后感悟】a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化,体现了数形结合的高度统一．证明三点A，B，C共线，借助向量，只需证明由这三点A，B，C组成的所有向量中有两个共线即可，即这两个向量之间存在唯一一个实数λ，使a＝λb(b≠0)即可．备选例题(教师用书独具)已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线．例【解】若存在这样的实数λ，μ，使得d＝λa＋μb与c共线，则可设d＝kc(k∈R)．∵d＝λa＋μb＝2(λ＋μ)e1＋3(μ－λ)e2，kc＝2ke1－9ke2.∴2(λ＋μ)e1＋3(μ－λ)e2＝2ke1－9ke2，即2(λ＋μ－k)e1＋3(μ－λ＋3k)e2＝0.∵e1，e2不共线，∴λ＋μ－k＝0，μ－λ＋3k＝0，消去k，得λ＝－2μ.所以当λ＝－2μ时，能使d与c共线．变式训练3．“P，A，B三点共线”是“存在实数λ，μ使OP→＝λOA→＋μOB→且满足λ＋μ＝1”成立的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.①当λ＋μ＝1时，由OP→＝λOA→＋μOB→，即(λ＋μ)OP→＝λOA→＋μOB→，整理得λPA→＋μPB→＝0，又λ，μ不同时为0，∴PA→∥PB→，又PA与PB存在公共点P，则P、A、B三点共线．②如图P、A、B三点共线，但OP→＝3OA→＋OB→，3＋1≠1，故选B.方法技巧1．向量的数乘运算(1)向量数乘的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，也有λa＝0.(2)实数和向量可以求积，但不能求和、求差．方法感悟(3)熟练掌握向量线性运算的运算规律是正确化简向量算式的关键，要正确区分向量数量积与向量数乘的运算律．2．向量共线定理的作用用向量共线定理可以证明几何中的三点共线和直线平行问题．但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b＝λa，再结合条件或图形有无公共点说明几何位置．失误防范1．0与实数0有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定.0可以看成与任意向量平行．2．两个向量的和与差仍是一个向量．3．使用三角形法则时要注意“首尾相连”．考向瞭望把脉高考命题预测平面向量的概念及线性运算在近几年高考中，时常以选择题、填空题的形式出现，有时解答题的题设条件也以向量的形式给出，考查线性运算的运算法则及其几何意义以及两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等，具有考查形式灵活，题材新颖，解法多样等特点．预测2013年高考仍将以向量的线性运算、向量的基本概念为主要考点，重点考查向量加、减的三角形法则及平行四边形法则．典例透析例(2010·高考湖北卷)已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝()A．2B．3C．4D．5【解析】设D为BC中点，由MA→＋MB→＋MC→＝0得MA→＋2MD→＝0，∴D、M、A三点共线且M为AD的靠近D的三等分点，∴AM→＝23AD→＝23×12(AB→＋AC→)＝13(AB→＋AC→)，∴m＝3.【答案】B【得分技巧】解答本题的关键：取D为BC的中点，从而MB→＋MC→用MD→表示，利用共线向量定理证明D、M、A三点共线，从而便可解决．【失分溯源】解答本题易出现两点错误：一是有两向量的和时想不到利用平行四边形法则；二是共线向量定理应用不熟练，无法确定M的位置，导致最终无法求解．