数列求和练习题(含答案)

12．(教材改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋1，则S5等于()A．1B.56C.16D.130B[∵an＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.]3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{an}中，a2·a8＝4a5，等差数列{bn}中，b4＋b6＝a5，则数列{bn}的前9项和S9等于()A．9B．18C．36D．72B[∵a2·a8＝4a5，即a25＝4a5，∴a5＝4，∴a5＝b4＋b6＝2b5＝4，∴b5＝2，∴S9＝9b5＝18，故选B.]已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和．[解](1)由已知得2a2＋a3＋a5＝4a1＋8d＝20，10a1＋10×92d＝10a1＋45d＝100，解得a1＝1，d＝2，3分所以数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1.5分(2)bn＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，8分所以Tn＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.12分2已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝2nnaa，求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1.∵S3＝6，S5＝15，∴3a1＋12×3×3－1d＝6，5a1＋12×5×5－1d＝15，即a1＋d＝2，a1＋2d＝3，解得a1＝1，d＝1.3分∴{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n.5分(2)由(1)得bn＝an2an＝n2n，6分∴Tn＝12＋222＋323＋…＋n－12n－1＋n2n，①①式两边同乘12，得12Tn＝122＋223＋324＋…＋n－12n＋n2n＋1，②①－②得12Tn＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1＝121－12n1－12－n2n＋1＝1－12n－n2n＋1，10分∴Tn＝2－12n－1－n2n.12分一、选择题1．数列112，314，518，7116，…，(2n－1)＋12n，…的前n项和Sn的值等于()3【导学号：31222189】A．n2＋1－12nB．2n2－n＋1－12nC．n2＋1－12n－1D．n2－n＋1－12nA[该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋12n，则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋12＋122＋…＋12n＝n2＋1－12n.]2．在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为()A．100B．110C．120D．130C[{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.]3．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A．192里B．96里C．48里D．24里B[由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为12的等比数列，则a11－1261－12＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B.]6．设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝sinnπ2，n∈N*，则S2016＝__________.0[an＝sinnπ2，n∈N*，显然每连续四项的和为0.4S2016＝S4×504＝0.]9．已知数列{an}中，a1＝1，又数列2nan(n∈N*)是公差为1的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求数列{an}的前n项和Sn.[解](1)∵数列2nan是首项为2，公差为1的等差数列，∴2nan＝2＋(n－1)＝n＋1，3分解得an＝2nn＋1.5分(2)∵an＝2nn＋1＝21n－1n＋1，∴Sn＝21－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝21－1n＋1＝2nn＋1.12分3．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1)当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3得an＝2Sn－1＋3，两式相减，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，∴an＋1＝3an，∴an＋1an＝3.当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则a2a1＝3.3分∴数列{an}是以a1＝3为首项，公比为3的等比数列．∴an＝3×3n－1＝3n.5分(2)法一：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n，7分∴Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n，①3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)·3n＋1，②①－②得－2Tn＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n－1)·3n＋15＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)·3n＋1＝3＋2×321－3n－11－3－(2n－1)·3n＋1＝－6－(2n－2)·3n＋1.10分∴Tn＝(n－1)·3n＋1＋3.12分法二：由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n.7分∵(2n－1)·3n＝(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n]＝(n－1)·3n＋1＋3.12分