高等数学 隐函数求导

目录上页下页返回结束第四节一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数隐函数和参数方程求导第二章目录上页下页返回结束一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(注意y=y(x))(含导数的方程)y（隐函数的显化）目录上页下页返回结束例1.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因x=0时y=0,故确定的隐函数目录上页下页返回结束例2.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2(x即目录上页下页返回结束的一阶导数确定的隐函数求由方程练习：二阶导数解:方程两边对x求导，得d2d2cosyxyd2()d2cosxy22sin(2cos)yyy22sin2(2cos)2cosyyy34sin(2cos)yy目录上页下页返回结束隐函数求高阶导数法1:由隐函数直接求出一阶导数,用一阶导数的显式继续求导.法2:反复用隐函数的表达式直接求n阶导数.目录上页下页返回结束例3解目录上页下页返回结束练习设由方程确定,解:方程两边对x求导,得0eyxyyy再求导,得2eyyyxy)(e02y②当0x时,,1y故由①得e1)0(y再代入②得2e1)0(y求①目录上页下页返回结束观察函数.,)4)(3()2)(1(sinxxyxxxxy方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导对数求导法目录上页下页返回结束例4.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导yy1xxlncosxxsin)sinlncos(sinxxxxxyx目录上页下页返回结束求的导数.解:(coslnxxsin)xx)sinlncos(sinxxxxxyx目录上页下页返回结束又如,对x求导两边取对数目录上页下页返回结束二、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?目录上页下页返回结束若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则0)(t时,有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)(t时,有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成x是y的函数)关系,目录上页下页返回结束若上述参数方程中二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt)()(tt)(t)()()()()(3tttttddd()dddyttxxtxdd)()(ddttxy)(tx且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得目录上页下页返回结束例5解目录上页下页返回结束例6解目录上页下页返回结束所求切线方程为目录上页下页返回结束?例7.设)(tfx,且,0)(tf求.dd22xyddxy)(tft)(tf,tdd22xy1)(tf已知解:)()(tftfty练习:xydd;1t22ddxy21tt31t解:注意:对谁求导?x求22dd,.ddyyxx目录上页下页返回结束内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式目录上页下页返回结束1.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得33()fxy且存在，求23)dyydx3cos3x60dydx思考与练习2(3x332332cos3()()2xfxyxfxyy目录上页下页返回结束解解得目录上页下页返回结束作业P821(2)(3);2;4(2)(4);5(1)(2);6(2);8第五节目录上页下页返回结束求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对求导y思考题1.设目录上页下页返回结束,求解：方程组两边同时对t求导,得0ddtxy2.设目录上页下页返回结束练习题一、填空题：1、设01552223yxyyxx确定了y是x的函数，则)1,1(dxdy=________.2、曲线733xyyx在点（1，2）处的切线方程是___________.3、曲线ttyttxsincos在2pt处的法线方程________.4、已知teytexttsincos,则dxdy=______；3ptdxdy=______.5、设yxexy,则dxdy=________.目录上页下页返回结束二、求下列方程所确定的隐函数y的二阶导数22dxyd：1、；2、；3、yxxy)00(yx，.三、用对数求导法则求下列函数的导数：1、2xxy；2、54)1()3(2xxxy；3、xexxy1sin.目录上页下页返回结束四、求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxyd：1、tbytaxsincos；2、)()()(tftftytfx设)(tf存在且不为零.五、求由参数方程ttytxarctan)1ln(2所确定的函数的二阶导数22dxyd.六、设)(xf满足xxfxf3)1(2)(，求)(xf.目录上页下页返回结束练习题答案一、1、34；2、02311yx3、022ppyx；4、32,sincoscossintttt；5、yxyxexye.二、1、；2、-)(cot)(csc232yxyx；3、322)1(ln)1(ln)1(lnyxyxxyy.目录上页下页返回结束三、1、)1ln2(12xxx；2、]1534)2(21[)1()3(254xxxxxx；3、])1(2cot1[1sin21xxxeexxexx.四、1、tab32sin；2、)(1tf.五、241tt.六、212x.