高等数学(下)无穷级数

无穷级数无穷级数数项级数幂级数傅氏级数（数一）第十一章常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件第一节第十一章一、常数项级数的概念引例用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正定义：给定一个数列,,,,,321nuuuu将各项依,1nnu即称上式为无穷级数，其中第n项nu叫做级数的一般项,级数的前n项和称为级数的部分和.次相加,简记为当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然收敛,则称无穷级数并称S为级数的和,记作例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q称为公比)的敛散性.解:1)若qqaan1从而qannS1lim因此级数收敛,;1qa从而,limnnS则部分和因此级数发散.其和为2).若因此级数发散;因此nSn为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,1q时,等比级数收敛;1q时,等比级数发散.则级数成为,a,0不存在,因此级数发散.例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)12lnnSnnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln)1ln(n）n(所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和23ln34lnnn1ln(2))1(1431321211nnSn211111n）n(1所以级数(2)收敛,其和为1.31214131111nn技巧:利用“拆项相消”求和二、无穷级数的基本性质性质1.若级数收敛于S,,1nnuS则各项乘以常数c所得级数也收敛,说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.性质2.设有两个收敛级数,1nnuS1nnv则级数)(1nnnvu也收敛,其和为.S说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则)(1nnnvu必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如,,)1(2nnu取,)1(12nnv(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0)11()11(但发散.例如，三、级数收敛的必要条件性质5、设收敛级数则必有可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.注意:0limnnu并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于S,则nn2nnnn21312111但nnSS2矛盾!所以假设不真.21二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法第十一章一、正项级数及其审敛法若,0nu1nnu定理1.正项级数收敛部分和序列有界.则称为正项级数.定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数k0),例1.讨论p级数pppn131211(常数p0)的敛散性.解:1)若,1p因为对一切而调和级数11nn由比较审敛法可知p级数n1发散.发散,,1p因为当,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111)1(111ppnnp考虑强级数1121)1(1ppnnn的部分和n111)1(11ppnkkkn故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.时,1)1(11pn11111)1(113121211pppppnn12)若调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn证明级数发散.证:因为2)1(1)1(1nnn而级数21kk发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.定理3.(比较审敛法的极限形式),limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞设两正项级数满足(1)当0l∞时,是两个正项级数,(1)当时,l0两个级数同时收敛或发散;特别取,1pnnv可得如下结论:对正项级数,nu,1pl0lnnnlimpnl0发散nu(2)当且收敛时,0lnv(3)当且发散时,lnv也收敛;也发散.收敛nu的敛散性.～nnn1lim例3.判别级数11sinnn的敛散性.解:nlimsin1nn11根据比较审敛法的极限形式知.1sin1发散nn例4.判别级数1211lnnn解:nlim221limnnn1根据比较审敛法的极限形式知.11ln12收敛nnnn1sin)1ln(21n～21n2n211lnn定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且,lim1nnnuu则(1)当1(2)当1时,级数收敛;或时,级数发散.1lim1nnnuu说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数nnnuu1limppnnn1)1(1lim1但,1p级数收敛;,1p级数发散.limn例5.讨论级数的敛散性.解:nnnuu1limnxn)1(1nxnx根据定理4可知:,10时当x级数收敛;,1时当x级数发散;,1时当x例6.讨论级数的敛散性.定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级,limnnnu则数,且时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数pnnnnu1)(1n说明:但,1p级数收敛;,1p级数发散.例7.讨论级数的敛散性.例8.讨论级数的敛散性.二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数;),2,1()11nuunn,0lim)2nnunnnu11)1(收敛,且其和,1uS其余项满足.1nnur,,2,1,0nun设收敛收敛nn1)1(4131211)11!1)1(!41!31!211)21nn用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:nnn10)1(104103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛!)1(1n!1n11nnnuu11011nnnn10nn1101三、绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级111)1(nnn1110)1(nnnn收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.定理7.绝对收敛的级数一定收敛.说明：上述逆定理不一定成立。即nu发散nu发散例9.证明下列级数绝对收敛:.)1()2(;sin)1(1214nnnnennn证:(1),1sin44nnn而141nn收敛,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛.(2)令nnnuu1limlimn12)1(nennen2211limnnen11e因此12)1(nnnen12)1(nnnen收敛,绝对收敛.内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发散满足比值审敛法limn1nunu根值审敛法nnnulim1收敛发散1不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限13.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:01nnuu0limnnu则交错级数nnnu1)1(收敛概念:绝对收敛条件收敛例1、（06，一，三）若nac则级数（）A、nacB、(1)nnacC、1nnaacD、12nnaac例2、（05，三）设0,1,2,,nun若(1)nnnuu发散，收敛，则下列结论正确的是（）A、212nnuu收敛，发散B、212nnuu发散，收敛C、212nnuu（）收敛D、212nnuu（）收敛第三节一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数第十一章一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有0x称为其收0x称为其发散点,),2,1()(nxun发散点的全体称为其发散域.为级数的和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数称它例如,等比级数它的收敛域是,1[]1,(），及它的发散域是或写作.1x又如,级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数1,110xxxnn为幂级数的系数.即是此种情形.的情形,即称ox发散发散收敛收敛发散定理1.(Abel定理)若幂级数0nnnxa则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,0nnnxa中心的区间.用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=时,,0R幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.Rx外发散;在(－R,R)称为收敛区间.ox发散发散收敛收敛发散定理2.若的系数满足;1R;R.0R1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,则的收敛半径为说明:据此定理1limnnnaaR对端点x=－1,1limnnnaaR的收敛半径及收敛域.解:11nn1对端点x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散..]1,1(故收敛域为例1.求幂级数limn例2.求下列幂级数的收敛域:解:(1)limlim1nnnnaaR!1n所以收敛域为.),((2)limlim1nnnnaaR!n!)1(n0所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1!)1(1n例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.lim)()(lim1nnnnxuxu2]!)1([!])1(2[nn2]![!]2[nn22)1()22()12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数发散故收敛半径为.21R142x当)1(2nxnx2故直接由例4.的收敛域.解:令级数变为nnnnaaRlimlim1nn21)1(211nnnnnnn2)1(2lim12当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为即.31x三、幂级数的运算定理3.设幂级数及的收敛半径分别为,,21RR令)(0为常数