2章平面体系的几何组成分析

第2章平面体系的几何组成分析第2章平面体系的几何组成分析2.1概述2.2平面体系的自由度2.3几何不变体系的组成规则2.4平面体系的几何组成分析2.5静定结构和超静定结构2.1概述2.1概述2．1．1几何可变体系与几何不变体系由若干杆件互相联结组成，并与地基联结成整体的体系称为杆件结构。根据体系的几何组成以及体系受到任意荷载作用后的变形和受力特点。可把体系分类为：常变瞬变几何可变超静定静定几何不变体系在不考虑各杆件的材料应变时，体系应能保持原有几何形状和位置不变，或各杆件之间以及整个结构与地面之间不发生相对运动。几何不变体系与几何可变体系体系形状改变──几何可变体系图(a)ab2.1概述杆件体系体系形状不变──几何不变体系图(b)（各杆视为刚性杆）加载2.1概述2．1．2几何组成分析的目的1.判定一个体系是否几何不变，以确定它是否可作为结构；2.研究体系的几何组成规律,以保证所设计的结构为几何不变体系。2.2平面体系的自由度y2.2平面体系的自由度概念：例：平面上一个动点，平面上一运动刚体，xyAyABxyα23一个体系运动时，确定该体系位置所的独立坐标数，称为该体系的自由度，用W表示。W=W=2.2平面体系的自由度刚片系的自由度：对一个刚片加上约束装置，它的自由度将会减少，凡能减少一个自由度的装置称为一个约束。2.2平面体系的自由度联系或约束──减少自由度的装置常见联系：1.链杆──一根链杆相当于1个联系。2.铰结点或固定铰支座──一个单铰或固定铰支座相当于2个联系。单铰：连接两刚片的铰复铰：连接两个以上刚片的铰。一个连接n个刚片的复铰相当于n-1个单铰，可减少2(n-1)个自由度。2.2平面体系的自由度若在一个体系上增加一个联系而不减少体系自由度，则此约束称为多余约束。如图所示为一几何不变体系，撤除中间链杆任为几何不变体系，则该杆为多余联系：多余约束：2.2平面体系的自由度一个平面体系，通常都是由若干个刚片加入某些约束所组成的。约束与自由度：加入约束后能减少体系的自由度。如果在组成体系的各刚片之间恰当地加入足够的约束，就能使刚片与刚片之间不可能发生相对运动，从而使该体系成为几何不变体系。2.2平面体系的自由度式中：W为体系的计算自由度；m为刚片数；h为单铰数；γ为支座链杆数；j为铰接点数；b为链杆数。体系自由度计算公式：rhmW23当计算自由度，W0，体系为可变的；W≤0体系可能是不变（或有多余约束的不变体），也可能是可变体系或瞬变体系。或rbjW22.2平面体系的自由度体系自由度的计算方法一：以刚片为研究对象1．图示刚家体系，由FE、ACDB、GH三刚片组成，故m=3；三刚片用两个单铰连接，故h=2，支座链杆数为5，则r=5。05223323rhmW体系无多余联系。2．图示桁架体系，m=11；h=15，r=3。03152113W体系无多余联系。2.2平面体系的自由度体系自由度的计算方法二、以结点为研究对象rbjW2图示桁架体系，j=7；b=11，r=3。0311722rbjW体系无多余联系。2.3几何不变体系的组成规则2.3几何不变体系的组成规则•总则：铰结三角形内部几何不变。2．2．1组成规律确定平面体系是否几何不变，须研究几何不变体系的组成规则。常见三种的基本情况分析平面几何不变体系的简单组成规则。规则1（两刚片规则）两刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相联结，则所组成的体系是几何不变的。平面中两个独立的刚片，共有六个自由度，组成为一个刚片，则只有三个自由度。两刚片之间至少应该用三个约束相联，才能组成为一个几何不变的体系。这些约束应怎样布置才能达到这一目的。2.3几何不变体系的组成规则上述情况等效于在O点用单铰把刚片I和Ⅱ相联结。OCDⅠⅡ图所示，刚片Ⅰ与刚片Ⅱ用两根不平行的链杆AB和CD联结。AB与CD两杆延长线的交点O分析两刚片间的相对运动情况，可绕AB与CD两杆延长线的交点O转动；AB这个铰的位置是在两链杆轴线的交点上，两刚片的相对转动，其位置将随之改变。这种铰与一般的铰不同，称为虚铰。2.3几何不变体系的组成规则若链杆EF的延长线不通过O点，则刚片Ⅰ和Ⅱ之间就不可能再发生相对运动。这时，所组成的体系是几何不变的。可见要保证两刚片间不会发生相对转动，还得加一个约束（1链杆）。EFOⅠⅡABCD2.3几何不变体系的组成规则EFOⅠⅡABCD注意：若链杆AB、CD、EF相互平行，可视三杆交于的延长线为无穷远处的O点，刚片Ⅰ、Ⅱ间仍可能发生相对运动；若三杆不等长，当两刚片发生相对转动的瞬间，在三根杆就不再平行也不再相交，故组成的体系是瞬变的。若三杆等长，无论两刚片如何相对转动的瞬间，在三根杆始终相互平行，故组成的体系是常变的。2.3几何不变体系的组成规则规则2（三刚片规则）三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联，则所组成的体系是几何不变的。平面中三个独立的刚片，共有九个自由度，Ⅰ组成为一个刚片后便只有三个自由度。在三个刚片之间至少应加入六个约束，方可能将三个刚片组成为一个几何不变的体系。这些约束应怎样布置才能达到这一目的。2.3几何不变体系的组成规则每一组两根链杆的有一个交点，三刚片间用三组链杆连接，有三个交点（虚铰）01、02、03，刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ间用6根链杆(6个约束)均匀的连接，3刚片就组成了三角形，三角形是几何不变的。010203若三个铰A、B、C不在同一条直线上。ABC三虚铰01、02、03的作用等同于三个实铰A、B、C。2.3几何不变体系的组成规则注意：若少于6个约束，体系必然是可变的；若三个铰在同一直线上，体系就是瞬变的；若多余6个约束，体系可能是超静定的，也可能是变形体。2.3几何不变体系的组成规则二元体规则：在一几何不变体系上增加一个二元体仍是几何不变的。推论：ABC刚体在一个体系上撤去一个二元体，也不会改变体系的几何组成性质。一刚片与一点间用不共线的两根链杆相连，组成无多余约束的几何不变体系，见右图。该体系称为二元体。规则3（二元体规则）2.3几何不变体系的组成规则2．2．2常变体系与瞬变体系根据简单规则，可逐步组成一般的几何不变体系，也可用这些规则来判别给定体系是否几何不变。注意：几何可变体系又可分为常变体系和瞬变体系。1、图示，三根等长且平行的链杆，无论两刚片如何相对转动的瞬间，在三根杆始终相互平行，组成的体系是常变的，称为常变体系。三个组成规则，都提出了一些限制条件。若不能满足，组成的体系为几何不变体系。2.3几何不变体系的组成规则2、图示，三杆平行，但不等长的链杆，当两刚片发生相对转动的瞬间，在三根杆就不再平行也不再相交，故组成的体系是瞬变的，称为瞬变体系。2.3几何不变体系的组成规则3．图示的两个刚片用三根链杆相联，链杆的延长线全交于O点，两个刚片可以绕O点作相对转动，但在发生一微小转动后，三根链杆就不再全交于一点，相对运动不再继续。体系也是瞬变体系。2.3几何不变体系的组成规则4．图示，三个刚片用位于一直线上的三个铰两两相联，C点位于以AC和BC为半径的两个圆弧的公切线上，故可沿C点公切线作微小的移动。但在发生一微小移动后，三个铰就不再位于一直线上，运动也就不再继续，此体系也是瞬变体系。2.3几何不变体系的组成规则例：图示体系，在外力P作用下，铰C向下发生一微小的位移而到C’的位置，平衡条件：0当杆AC和BC将产生很大的内力和变形。瞬变体系只发生微小的相对运动，是否可以作为结构?实际上小位移，受力时可能出现很大的内力而导致破坏，或产生过大的变形而影响使用。得：sin2PFN则：NF0yF2.3几何不变体系的组成规则杆AC和BC将产生很大的内力和变形。有两种可能的情况（1）杆件的变形发展过程中，应力超过材料的强度极限，从而导致体系的破坏。（2）杆件的变形很大，但杆件的应力未超过材料的极限值，铰C向下移到一个新的几何位置，而在新情况下处于平衡。由此可知，在工程中是决不能采用瞬变体系。2.3几何不变体系的组成规则瞬铰在无穷远处时，判断三铰共线的条件。（1）两实铰（或有限点瞬铰）的连线与组成∞点瞬铰的链杆相平行，则三铰共线。（2）一实铰（或有限点瞬铰）和两个相同方向的无穷远瞬铰，则三铰共线。（3）三个瞬铰均在无穷远，则三铰共线。2.3几何不变体系的组成规则几何不变体系的组成规则中，指明了最低限度的约束数目。若体系中的约束比规则中所要求的多，则按规则组成有多余约束的几何不变体系。按照规则组成的体系称为无多余约束的几何不变体系。约束数目少于规定的数目，则体系是几何可变的，如图a。图b所示体系，有5个约束数，有多余的约束，通过分析，该体系是具有两个多余约束的几何不变体系。2.4平面体系的几何组成分析2.4平面体系的几何组成分析几何组成分析的依据——三个规则，由于不考虑材料的应变，分析时可将基础（或大地）视为一刚片，也可把体系中的一根梁、一根链杆或某几何不变部分视为一刚片，或根据规则三可先将体系中的二元体逐一撤除以使分析简化。无多余约束的几何不变体系。［例2.1］试对图示铰结链杆体系作几何组成分析。BCDEAⅠⅡⅢ2.4平面体系的几何组成分析［例2．2］试对图所示体系进行几何组成分析。解：将AB、BED和基础分别作为刚片I、Ⅱ和Ⅲ。ACBDⅠⅡⅢ刚片I和Ⅱ用铰B相联；E刚片I和Ⅲ用铰A相联；刚片Ⅱ和Ⅲ用虚铰E(C和D支座链杆的交点)相联。三铰A，B，E在一直线上，故该体系为瞬变体系。2.4平面体系的几何组成分析［例2．3］试对图所示体系进行几何组成分析。解：首先刚片AB通过1，2和3#链杆与地基连接，研究CE，EF刚片和地基(含有AB刚片)之间的关系。623561ABC4DEF三根链杆既不平行，也不交于一点，满足两刚片规则，几何不变。刚片AB可并入地基，视为一个刚片。CE刚片通过BC杆及4#链杆与地基相连，即瞬铰D连接，EF刚片与地基之间通过5，6#链杆相连，相当于瞬铰H(在竖向无穷远处)，CE和EF刚片之间通过铰E相连，三个刚片用三个不共线的铰(D，E，H）两两相连，所以整体系是无多余约束的几何不变体系。2.4平面体系的几何组成分析［例2．4］试对图所示体系进行几何组成分析。解：首先地基在A，E处增加两个二元体后视为一个刚片，因此体系是没有多余约束的几何不变体系。DBCFEGA刚片AB，BC和AC之间通过铰A，B，C连接，形成一个大刚片ABC，不妨把ABC看成是一个广义链杆。地基为Ⅰ刚片、DCFG为Ⅱ刚片，EG为Ⅲ刚片。三刚片通过1和D链杆交点的铰C以及铰G和铰E(三铰)两个连接,满足三刚片组成规则，ⅠⅡⅢ1该题也可用其他方法分析，请同学考虑。2.4平面体系的几何组成分析［例2．5］试分析图所示体系的几何组成。解：GH通过固端H与地基连接，ABCHE1F2GFG、GD、DF组成一三角形故视为大刚片DFC，故将GH看成是地基的一部分。刚片DFG通过铰G和链杆2与地基连接，成为新地基。DG视BCE为刚片，通过链杆l及CD，EF杆与地基相连，几何不变，也并入地基。杆AB通过铰B及A处的滑动支座与地基连接，滑动支座是两连杆，AB杆通过两根链杆和铰B与地基连接，按两刚片规则，连接有一个多余约束。因此，整个体系是有一个多余约束的几何不变体系。2.4平面体系的几何组成分析［例2．6］试分析图所示体系的几何组成。解：首先去掉二元体BAD。ABCDEFGHL杆DH，HL和DL通过铰D，H和L连接成刚片DHL，在此刚片上依次增加二元体DCL，CGH，由二元体规则，CGHLD部分几何不变，可视为一个刚片。同理，在左边，可以形成刚片CBEF。两个刚片通过铰C和杆件FG连接形成一个大的刚片。由两刚片规则可知，整个体系是一个没有多余约束的内部几何不变体系。该体系未考虑与地基的联系。2.4平面体系的几何组成分析［例2．7］试分析图所示体系的几何组成。答：铰接三角形ABE和BCD分别视为刚片I和II，基础视为刚片Ⅲ；IIIIIIEFABCDG0102I、II间用实