0 截面的几何性质

2020/1/19截面的几何性质2020/1/19A.1截面的面积矩和形心的位置A.2截面的惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径A.3平行移轴公式和转轴公式A.4截面的主惯性轴和主惯性矩2020/1/19A.1截面的面积矩和形心的位置yzOCdAyyCzCz任意平面图形A（例如杆的横截面）建立yz坐标系（x轴为杆的轴线）平面图形的形心C(yc,zc)定义图形对y轴的静矩AyzdAS图形对z轴的静矩AzydAS静矩的单位：m3,cm3,mm32020/1/19静矩与形心ASAydAyzACASAzdAzyAC，静矩的性质（1）静矩与轴有关，可正可负可为零。（2）若yC,zC坐标轴过形心，则有0CyS0CzS（3）组合图形静矩可分块计算求代数和221121CCzzzyAyASSS（4）求形心AyAyAASyCCzC2211AzAzAASzCCyC2211A2c2A1c12020/1/19静矩的性质：1）截面对形心轴的静矩必为零。2）若截面对某轴的静矩等于零，则该轴必为形心轴。3）组合截面的静矩等于各组成部分的截面对该轴静矩的代数和。性质2020/1/19组合图形的静矩与形心：静矩为代数量，工程实际中的组合图形可以分成几个简单的图形来求解。CinAnAAiiyzAdAzdAzdAzAzSn)()(221121可采用积分法、分割法、负面积法等方法。iiiCAzAz)(iiiCAyAy)(CinAnAAiizyAdAydAydAyAySn)()(2211212020/1/19例题A–1试计算图示T型截面的形心位置。解：zC=0，只需计算yCCCzyyCzCCCzzCyy60206020将截面分为I、II两个矩形，建立如图所示坐标系。各矩形的面积和形心坐标如下：220mm60mm=1200mmAA10mmCy50mmCy22221200mm10mm+1200mm50mm30mm1200mm1200mmiiCCCCiAyAyAyyAAA于是：2020/1/19例题A–2试计算图示三角形截面对于与其底边重合的z轴的静矩。yzb(y)byhOdy解：取平行于x轴的狭长条，)()(yhhbyb易求yyhhbAd)(d因此所以对x轴的静矩为6d)(d20bhyyyhhbAyShAx2020/1/190()Czy是对称轴()iiCiAyyA31200100500461.76550461.765461.765Smm下7（）100(500-)(500-)/21.066103066.2/765.461765.461100mmS7上1010066.066.77下上101101SS例A-3求图示T形板的形心坐标，形心轴以上、以下两部分截面对形心轴zC的面矩。1200y100500zCCC1C2III(a)Oz100C(c)38.235yCzCyCzC461.765(b)112212AyAyAA(1001200)(50050)(500100)2501001200500100461.765mm2020/1/19A.2截面的惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径1、惯性矩（截面二次轴矩）yOzdAyz定义图形对y，z轴的轴惯性矩AydAzI2AzdAyI22、极惯性矩图形对原点的极惯性矩yzAApIIdAzydAI)(222惯性矩的单位：m4,cm4,mm42020/1/193、惯性积定义整个截面对于z、y两坐标轴的惯性积dyzAIyzAyOzdAyz4、惯性半径定义对z轴和y轴惯性半径ZzIiAyyIiA2020/1/19性质（1）惯性矩与轴有关，恒为正。（2）组合图形惯性矩可分块计算求代数和。A2c2A1c1zy（4）惯性积与轴有关，可正可负可为零。（5）若y,z轴有一为图形的对称轴，则Iyz=0。yyzzzdAdA0dAzydAzyIiiiiyz（3）面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布得越远，其惯性矩就越大。2020/1/19AIApd2Ddd2202D432pDI例A-4：求图示圆截面的IP、Iz、Iy、Iyz。yzOzyIIPzyIII对称性4642DIIIPyz解：取微面积如图示(1)求惯性积d0yzAIyzA(2)求惯性矩2020/1/19例题A-4试计算图示圆形截面对O点的极惯性矩IP和对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩Iy和Iz。yzddO解：建立如图所示坐标系，取图示微元dA,d2πdA4222P0πd(2πd)32dAdIA由于圆截面对任意方向的直径轴都是对称的，故yzII4Pπ264yzIdII所以2020/1/19DdDdAIApd2222d2Dd)(3244dD44(1)32pDIDd例A-4：求图示圆环截面的IP、Iz、Iy。yzO44(1)264PzyIIID222222()(1()1444dADdDDD2020/1/19例题A–5试计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）z和y的惯性矩Iz和Iy，及其惯性积Iyz。zdzydyyzbhO解：取平行于z轴的狭长条作为面积元素，则ddAby32222dd12hhzAbhIyAbyy同理32222dd12bbyAbhIzAhzz因为z轴（或y轴）为对称轴，故惯性积0yzI2020/1/19矩形：hbyz圆形：yzd123bhIz123hbIy644dIIyz324dIpz空心圆形：ydD)1(64644444DdDIIzy)1(3244DIpDd常见图形的惯性矩：2020/1/19A.3平行移轴公式和转轴公式A.3.1平行移轴公式A.3.2转轴公式2020/1/19A.3.1平行移轴公式若两组坐标轴分别平行，且其中一组为形心轴，则yCzyCzCzC=byC=azCzyyCdAO2CzzIIaA2CyyIIbACCyzyzIIabAA为图形的面积，a,b为形心C在yz坐标系中的坐标，其正负号由C所在象限来确定。平行移轴公式可用于求组合图形的惯性矩2020/1/19例题A–6试计算图示截面对于其形心轴的惯性矩。CCzyyCzCCCzzCyy60206020解：截面的形心坐标为：0Cz30mmCy矩形Ⅰ和Ⅱ对轴的惯性矩IzI和IzII：324441[6020(3010)6020]mm5210mm12CzI324441[2060(5030)2060]mm8410mm12CzI整个截面的惯性矩Iz：4444(5284)10mm13610mmCCCzzzIII2020/1/19A.3.2转轴公式设y,z为任一对坐标轴，将其绕O点逆时针旋转α角，得到新坐标轴y1,z1，则有：zz1yy1CBDEAz1y1zyOdA1cos2sin222zyzyzyzIIIIII1cos2sin222zyzyyyzIIIIII11sin2cos22zyyzyzIIII11zyzyIIII2020/1/19A.4截面的主惯性轴和主惯性矩A.4.1主惯性轴的位置A.4.2主惯性矩的公式2020/1/19（1）主惯性轴：若图形对某一对坐标轴的惯性积等于零，这一对坐标轴就称为主惯性轴。（3）形心主惯性轴：通过形心C的主惯性轴。注意：对称轴一定是形心主惯性轴。（4）形心主惯性矩：图形对形心主惯性轴的惯性矩。（2）主惯性矩：图形对主惯性轴的惯性矩。几个概念2020/1/19A.4.1主惯性轴的位置zz1yy1CBDEAz1y1zyOdA设α0角为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角，将α0角代入惯性积的转轴公式并令其等于零，即00sin2cos202zyyzIII02tan2yzzyIII由上式可求出两个角度α0和α0+90o和的数值，从而确定两主惯性轴z0和y0的位置。2020/1/19根据得：A.4.2主惯性矩公式022201cos21tan2()4zyzyyzIIIII0022202tan2sin21tan2()4yzzyyzIIII主惯性矩计算公式：02tan2yzzyIII0022221()4221()422zyzzyyzzyyzyyzIIIIIIIIIIII2020/1/19截面对于通过任一点的主惯性轴的主惯性矩之值，也就是通过该点所有轴的惯性矩中的极大值Imax和极小值Imin。2020/1/19部分图形形心主惯性轴的大致方位CCCCCCC2020/1/19Theend!