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1函数的周期性与对称性1、函数的周期性若a是非零常数,若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。①f(x+a)=f(x-a)②f(x+a)=-f(x)③f(x+a)=1/f(x)④f(x+a)=-1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质5若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=4|a-b|3.函数)(xfy图象本身的对称性(自身对称)若()()fxafxb,则()fx具有周期性;若()()faxfbx,则()fx具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。1、)()(xbfxaf)(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称推论1:)()(xafxaf)(xfy的图象关于直线ax对称推论2、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称推论3、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称2、cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),2(cba对称推论1、bxafxaf2)()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论2、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论3、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称例题分析:1.设)(xf是),(上的奇函数,)()2(xfxf,当10x时,xxf)(,则)5.47(f等于()(A)0.5(B)5.0(C)1.5(D)5.12、(山东)已知定义在R上的奇函数)(xf满足(2)()fxfx,则(6)f的值为()A.-1B.0C.1D.23.设)(xf是定义在R上的奇函数,(1)2,(1)(6),ffxfx求(10).f4.函数)(xf对于任意实数x满足条件1(2)()fxfx,若(1)5f,则[(5)]ff___25.已知)(xf是定义在R上的奇函数,且它的图像关于直线1x对称。(1)求(0)f的值;(2)证明)(xf是周期函数;(3)若()(01)fxxx,求xR时,函数)(xf的解析式,并画出满足条件的函数)(xf至少一个周期的图象。6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.巩固练习:1.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)0在[-1,3]上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1)2.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=121-x,则:①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;④当x∈(3,4)时,f(x)=12x-3.其中所有正确命题的序号是________.3.设定义在R上的奇函数y=f(x),满足对任意t∈R,都有f(t)=f(1-t),且x∈0,12时,f(x)=-x2,则f(3)+f-32的值等于()A.-12B.-13C.-14D.-154.若偶函数y=f(x)为R上的周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),则f(-6)等于________.5、(1)_____)1()(2121)(xfxfaaaxfxx)对称:,关于点(;(2)______)()(1012214)(1xfxfxxfxx)对称:,关于((3)若),2()(xafxf设个不同的实数根,则有nxf0)(_________21nxxx.6.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(3)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积.37.设)(xf是定义在),(上以2为周期的周期函数,且)(xf是偶函数,在区间3,2上,.4)3(2)(2xxf求2,1x时,)(xf的解析式.8.设函数)(xf对任意实数x满足)2()2(xfxf,)7(xf,0)0()7(fxf且判断函数)(xf图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点.9.已知函数()yfx是定义在R上的周期函数,周期5T,函数()yfx(11)x是奇函数.又知()yfx在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在2x时函数取得最小值5.(1)证明:(1)(4)0ff;(2)求(),[1,4]yfxx的解析式;(3)求()yfx在[4,9]上的解析式.10.已知)21121()(xxxf,(1)判断)(xf的奇偶性;(2)证明:0)(xf11、定义在]11[,上的函数)(xfy是减函数,且是奇函数,若0)54()1(2afaaf,求实数a的范围。12.(重庆文)已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。(Ⅰ)求,ab的值;(Ⅱ)若对任意的tR,不等式22(2)(2)0fttftk恒成立,求k的取值范围。复习题:41.已知数列{}na,其前n项和为nS,点(,)nnS在抛物线23122yxx上;各项都为正数的等比数列{}nb满足13511,1632bbb.(Ⅰ)求数列{}na,{}nb的通项公式;(Ⅱ)记nnnCab,求数列{}nC的前n项和nT.2.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且222823ABCbcaS(其中ABCS为△ABC的面积).(Ⅰ)求2sincos22BCA;(Ⅱ)若2b,△ABC的面积为3,求a.3.某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a,b,c的值;(Ⅱ)在(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为1x,2x,3x,等级系数为5的2件日用品记为1y,2y,现从1x,2x,3x,1y,2y这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.4.如图,在三棱锥ABCP中,PA底面ABC,ACBC,H为PC的中点,2PAAC,1BC.(Ⅰ)求证:AH平面PBC;(Ⅱ)求经过点PABC的球的表面积。5.已知抛物线28(8)xy与y轴交点为M,动点,PQ在抛物线上滑动,且0MPMQ(1)求PQ中点R的轨迹方程W;(2)点,,,ABCD在W上,,AD关于y轴对称,过点D作切线l,且BC与l平行,点D到,ABAC的距离为12,dd,且122||ddAD,证明:ABC为直角三角形6.设函数2ln()xfxx.(1)求()fx的极大值;(2)求证:2*12ln[(1)(2)21]()(21)()ennnnnnnN(3)当方程()0()2afxaRe有唯一解时,方程222()()0axtxtgxtxfxx也有唯一解,求正实数t的值;函数的周期性与对称性X12345频率a0.20.45bcABCPH51、函数的周期性若a是非零常数,若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。①f(x+a)=f(x-a)②f(x+a)=-f(x)③f(x+a)=1/f(x)④f(x+a)=-1/f(x)2、函数的对称性与周期性性质5若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=4|a-b|3.函数)(xfy图象本身的对称性(自身对称)若()()fxafxb,则()fx具有周期性;若()()faxfbx,则()fx具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。1、)()(xbfxaf)(xfy图象关于直线22)()(baxbxax对称推论1:)()(xafxaf)(xfy的图象关于直线ax对称推论2、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称推论3、)2()(xafxf)(xfy的图象关于直线ax对称2、cxbfxaf2)()()(xfy的图象关于点),2(cba对称推论1、bxafxaf2)()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论2、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称推论3、bxafxf2)2()()(xfy的图象关于点),(ba对称例题分析:1.设)(xf是),(上的奇函数,)()2(xfxf,当10x时,xxf)(,则)5.47(f等于()(A)0.5(B)5.0(C)1.5(D)5.12、(山东)已知定义在R上的奇函数)(xf满足(2)()fxfx,则(6)f的值为()A.-1B.0C.1D.23.设)(xf是定义在R上的奇函数,(1)2,(1)(6),ffxfx求(10).f4.函数)(xf对于任意实数x满足条件1(2)()fxfx,若(1)5f,则[(5)]ff___65.已知)(xf是定义在R上的奇函数,且它的图像关于直线1x对称。(1)求(0)f的值;(2)证明)(xf是周期函数;(3)若()(01)fxxx,求xR时,函数)(xf的解析式,并画出满足条件的函数)(xf至少一个周期的图象。6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).∴f(x)是周期为4的周期函数.(2)∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],∴4-x∈[0,2],∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8.又∵f(4-x)=f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x2+6x-8,即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].巩固练习:1.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)0在[-1,3]上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1)解析:选Cf(x)的图像如图.当x∈(-1,0)时,由xf(x)0得x∈(-1,0);当x∈(0,1)时,由xf(x)0得x∈∅;当x∈(1,3)时,由xf(x)0得x∈(1,3).故x∈(-1,0)∪(1,3).2.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+
本文标题:函数的周期性与对称性.
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