复合闭路定理

第三节柯西积分定理的推广一、问题的提出二、复合闭路定理三、典型例题复合闭路定理四、小结与思考2一、问题的提出2.d11,zzz计算实例,12在内的闭曲线是包含因为zz根据本章第一节例4可知,2.2d11zizz由此希望将基本定理推广到多连域中.3二、复合闭路定理1.闭路变形原理,)(在多连通域内解析设函数zf),(1正向为逆时针方向单闭曲线内的任意两条简为及DCC.11DDCC全含于为边界的区域及DC1C1DAABB,BBAA和作两段不相交的弧段︵︵4DC1C1DAABBEEFF,AAEBAEB显然曲线BFABFAA,,,,,FFEE添加字符为了讨论方便.均为封闭曲线,D因为它们的内部全含于,0d)(AAEBAEBzzf故.0d)(BFABFAAzzf,AAAEBBBAEBAAEBAEB︵︵︵︵,BFABBBFAAABFABFAA︵︵︵︵5AAEBAEBzzfd)(由,0d)(BFABFAAzzf得DC1C1DAABBEEFFCzzfd)(1d)(CzzfAAzzfd)(︵AAzzfd)(︵,0d)(BBzzf︵BBzzfd)(︵,0d)(d)(1CCzzfzzf即.d)(d)(1CCzzfzzf或6DC1C1DAABBEEFF,1成一条复合闭路看及闭曲线如果我们把这两条简单CC:的正方向为,按逆时针进行外面的闭曲线C,1按顺时针进行内部的闭曲线C),,(的左手边内部总在的的正向进行时即沿.0)(dzzf那末解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理说明:在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.72.复合闭路定理,,,,,,,,,,,2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于并且以互不包含也互不相交它们内部的简单闭曲线是在内的一条简单闭曲线多连通域为设,)(内解析在如果DzfDC1C2C3C那末,d)(d)()1(1nkCCkzzfzzf;均取正方向及其中kCC8DC1C2C3C.0d)()2(zzf).,,,,:(,,,,2121顺时针进行按按逆时针进行其方向是组成的复合闭路为由这里nnCCCCCCCC9三、典型例题例1解.1,d122曲线在内的任何正向简单闭为包含圆周计算积分zzzzz,10122zzzzz和内有两个奇点在复平面因为函数依题意知,xyo1也包含这两个奇点，10,21CC和不相交的正向圆周内作两个互不包含也互在xyo1,01zC只包含奇点,12zC只包含奇点1C2C根据复合闭路定理,zzzzd12221d12d1222CCzzzzzzzz2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220ii.4i11例2.12,d所组成向圆周和负为正向圆周计算积分zzzzezxyo121C2C解,21围成一个圆环域和CC,上处处解析在此圆环域和其边界函数zez圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,.0dzzez12例3.,,d)(11为整数的任一简单闭路为含求nazazn解,内部在曲线因为aa,故可取很小的正数,Γ:1内部含在使az1,)(111内处处解析为边界的复连通域在以naz13由复合闭路定理,1d)(1d)(111zazzaznna1,π20ieaz令1d)(11zaznπ201d)(niieieπ20dninie.0,00,2d)(11nnizazn故此结论非常重要,用起来很方便,因为不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.14例4.,,d)(12100为自然数闭曲线的任意正向为含求nzzzzin解由上例可知,0,00,2d)(11nnizazn,0za此处不妨设.1,01,1d)(1210nnzzzin则有15四、小结与思考本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理,掌握并能灵活应用它是本章的难点.常用结论:.0,00,2d)(11nnizazn16思考题复合闭路定理在积分计算中有什么用?要注意什么问题?17思考题答案利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法.使用复合闭路定理时,要注意曲线的方向.放映结束，按Esc退出.18作业：•PPT上本节例2.•P798.(4)(5)(6).