浅谈变形技巧在初等数学中的一些应用

1浅谈变形技巧在初等数学中的一些应用前言数学是一个有机的整体,各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透,从而构成了一个互相交错的立体空间.所以,为了培养数学学习中的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合应用数学知识分析解决实际问题的能力,除了对各单元知识,及一些开放探索性问题,实践应用性问题等综合内容进行系统复习外,在最后阶段的复习中,应对常用的数学方法和重要的数学思想引起重视,并有意识地运用一些数学思想方法去解决问题,这样才能使我们的数学学习提高到一个新的层次、新的高度.常用的数学方法,是针对各种不同的数学知识而定的一种策略.不同的问题可以用不同的方法,相同的问题也可以有各种不同的方法(即所谓的一题多解).各种数学方法与数学知识一样,是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富,并且是数学知识所不能替代的.在中学数)1(逻辑学中的方法。例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等。这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学)2(数学中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法。代数中常用图象法，解析几何中常用坐标法)、向量法、比较法(数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法、同一法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等。这些方法极为重要，应用也很广泛。)3(数学中的特殊方法。例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之。变形也是数学中的一种重要的方法之一。变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。例如勾股定理可表述为222cab，亦可表述为222222acbbca，等。若问133？，这显然是一个不屑回答的问题，但若问1=？就成了最富灵活性的问题，例如10022111111sincos，（），等。可见“变形”实在是一个内涵十分丰富的概念，在某些著名数学问题的解决中，变形技巧的巧妙运用也是至关重要的一环。我们在数学解题中，为了完成论证，求值、化简等的任务，2常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。本文主要介绍三角函数、一元二次方程、“0”、“1”等的变形应用以抛砖引玉。下面我们分别来谈谈这几种变形技巧的应用。1.1一元二次方程的变形技巧对有些含有（或可转化）一元二次方程的代数问题，如能对方程进行适当变形并施以代换，则常常可使问题化繁为简。下面列举例子说明。例1已知,是方程012xx的两根，求34的值。解：因为是方程012xx的根1,0122。则2312112)1(224，433233()2所以，。又因为,是方程012xx的两根，1，534。分析：如果要求出,的值，那么就很复杂，而且容易出错，在这里通过变形的技巧先从结论出发，这样可以提高解题的效率、节省时间。例2若m，n是一元二次方程0720002xx的两个根，求)82001)(61999(22nnmm的值。解：由题设得072000,07200022nnmm，及2000mn，7nm。19921200071)()1)(1()172000)(172000()82001)(61999(2222nmmnnmnnnmmmnnmm分析：通过观察要求的结论可知，只要对要求的结论作一下变形，则这道题目便可以轻易解决。不必求出m和n的值。例3设实数ts、分别满足0199901991922ttss，，并且1st，求tsst14的值。3解：由题设可得）（），（19991199922ttss。两式相除，得1911922tsts。由比例的基本性质，得ttssst221919，整理得)1()1(19,191922sttststststs即1,19stts因为所以，5199519499194)119(191419142sssssssssssstsst通过仔细的观察可知只要对已知条件0199901991922ttss，进行变形，再利用比例的基本性质即可解决这道题。我们在解决一元二次方程的代数问题时，首先要认真仔细地观察题目的已知条件和所要求的式子，观察它们之间有什么特点，然后再充分利用已知条件来解决所要求的问题。特别是要灵活应用韦达定理：即如果21,xx为方程)0(02acbxax的两个根，则acxxabxx2121,。在解这类题目时，可以从已知条件出发，也可以从结论入手。关键是要善于观察所要求式子的特点。1.2三角函数的变形技巧三角函数是初等函数的重要组成部分，它与初等代数、初等几何的关系十分密切。特别是三角函数的求值问题，而三角函数求值的关键是合理地进行三角恒等式的变形，其基本思路是“三看”，即一看角、二看函数名称、三看结构特征。除此之外，我们还常常应用代数的技巧和构造法，为三角恒等变形创造条件。例4已知2tan，求22cos2cossin3sin2的值。4222222222222222222sin3sincos2cossincos2sin3sincos2coscoscoscossincoscoscos2tan3tan2tan122322021解：原式分析：除了这里的22cossin1外，还有以下等式也经常用到：4tan1,cotcsc1,tansec1,cottan12222灵活运用这些等式，可以使许多三角函数问题得到简化。例5在ABC中，已知角CBA、、成等差数列，求2tan2tan32tan2tanCACA的值。解：ABC因为、、成等差数列，180CBA32tan602120CACACA，，由两角和的正切公式，得32tan2tan12tan2tanCACA32tan2tan32tan2tan2tan2tan332tan2tanCACACACA分析：本例是正切公式变形的应用。在历年高考题中，曾多次出现两角和与差的正切公式的变形应用，读者在学习中一定要总结、体会。例6试求80sin40sin50cos10cos22的值。讲解：注意到,2cossincos,1sincos2222我们可以通过构造对偶式，以减少三角变换的难度。再观察所求三角函数式，不难发现它与余弦定理非常相似，所以我们还可以通过构造三角形，使问题得到整体的解决。543,2322140cos2140cos60cos2120cos100cos20cos,40cos2,80cos40cos50sin10sin,80sin40sin50cos10cos]1[2222xxyxyxyx即两式相加，得则设方法4380sin40sin50cos10cos224380sin40sin50cos10cos.4340sin80sin40sin80sin.60cos80sin40sin240sin80sin)23(,60cos2.2360sin,40sin,80sin1260408060cos80sin40sin240sin80sin]2[222222222222故即又由余弦定理，得，则由正弦定理，得，外接圆直径，，，使构造原式方法abbaccbaRCBAABC分析：这里通过构造对偶式和三角形来求三角函数式的值是一种较高的变形技巧。三角函数式的恒等变形是学习三角函数和其他数学知识的重要知识。它包括化简三角函数式，求三角函数式的值，证明三角恒等式等。三角函数式恒等变形的理论依据是代数式恒等变形的一般方法和法则，与三角函数式的变形公式。变形中要注意三角函数定义域和值域的要求，以及符号的变化和选择。1.3“0”的变形技巧恩格斯在《自然辨证法》一书中指出：“零不只是一个非常确定的数，而且它本身比其他一切被要所限定的数都更重要，事实上，零比其他一切数都有更丰富的内容零乘以任何一个数,都使这个数变为零,零除以任何一个不等于零的数,都等于零,”由于零具备许多特殊的性质,因此,在解题活动中我们若能对这些特性加以注意,对于解题的顺利进行是大有帮助的,下面我们举例几个“0”的特性在解题中的应用。例8若cba，求证：cacbba411。6证明：因为cba0,0cbbacacbbacacbbacbbacbbacbbacbbaca411,04112))((2)11)](()[()11)((故又因为分析：通过观察可发现ca可以变形为cbba，即式子ca中加了0)0(bb。则再利用不等式的性质可方便解决这道题。例9在等差数列{}na和等比数列{}nb中，。时，求证：当nnbanbaba3,0,02211。）（）（”）分子上“加证明：nnnnnnnnnaaanaaaanaaaaCaaaCCaaaaaaaaaaaaabbab))(1(])1(1[][10()()()(1211121211221112110111112111112111211121分析：本题主要在1111211121)()(nnaaaaaaaa变形，即分子上加0，再利用不等式和等差数列的有关知识去解决即可。例10在数列}{na中，,3211,3111naaann求通项na。解：(1)令nnnbaa111，'nS为}{nb的前n项和，则}{nb是首项为5，公差为2的等差数列。711222211112211'111111111111()()()()1111111()()()1(1)(521)3(2)21(2)nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaannSnnaann因为，所以，再利用等差数列的知识便可解决这道题目。“0”是一个很有用的数字，在数学解题中若能灵活应用它，则会帮助我们顺利地解题。如果有些题目可以借助“0”来解决，我们应该充分利用“0”的有关特性去解决。这样可以很快确定解题方向，提高解题效率。1.4“1”的变形技巧众所周知“1”的变形表述形式是十分丰富的，在数学问题的求解活动中，如果我们善于捕捉“1”，恰当地用“1”来解决数学问题，会使问题的解决显得十分的简洁明了。下面我们来看它的应用。例11化简22sin211cos2。1sincossincossin2)cos(sin)cos(sincos2sin211cos2222222222222解：原式分析：本题充分利用22cossin1使问题巧妙解决。本题也可以用三角函数的知识来解答，但是比较麻烦。例12若。）求证：（nmnmnmNnm)11(11,,,分析：由均值不等式nnAG有nnnnaaaaaa）（2121(1)(1)式左边是n个正数之积，右边是nA