液体问题和动量定理

液体问题和动量定理445700湖北省来凤一中彭桂铭13135837448动量定理，应用面宽，题型多变，容易出现在综合性试题中．对于流体问题，常常选取质量元为m的液柱为研究对象；或取体积元tSvV的体积内的N个粒子为研究对象，从而利用动量定理进行处理。【例题1】在水平地面上放置一个氧气瓶，瓶内高压氧气的密度为，瓶口甚小，其横截面积为S。若打开阀门，当喷出氧气的速率为v时，求地面对氧气瓶的摩擦力大小（设瓶内氧气密度的变化忽略不计，且氧气瓶保持静止状态）。解：取极短时间t内喷出的一小段氧气柱为研究对象，其质量为tSvm，这段氧气柱受到的冲力为F，由动量定理有：vtSvtF于是得到氧气柱受到的冲力为2SvF气体对氧气瓶的作用力F与气体受到的冲力是一对相互作用力，大小相等，有2SvFF氧气瓶保持静止，由平衡条件得地面对氧气瓶的静摩擦力大小为2SvFf小结：当所取时间为t足够短，趋近于零时，流体柱长度l甚短，相应的质量m也很小。这种取微小元作为研究对象的方法，称为微元法。【例题2】横截面为S的宇宙飞船，以速度v在太空中航行时，进入静止的尘埃区，每立方米内尘埃的个数为n，设每个尘埃的质量都是m，如果尘埃与飞船相撞后都附着在飞船的前截面上，要使飞船维持匀速前进，飞船应增加多大的动力？解析：在飞船运动过程中取一极短时间t，在这段时间内附着在飞船上的尘埃速度由零增加到v，这些尘埃的质量为tnmSvm，设这些尘埃受到的作用力为F，根据动量定理mvtF得：vtnmSvtF求得2nmSvF由牛顿第三定律得飞船进入该尘埃区域时应增加动力的大小为2nmSvFF小结：求解“流体冲击力题型”这类问题，一般运用动量定理，即流体微元所受的合外力的冲量等于微元动量的增量，即PtF。【练习1】一个水龙头以0m/s2=1v的速度喷出水柱，水柱的横截面积为24100.2=mS，水柱垂直冲击竖直墙壁后，变成无数小水滴，被墙面反弹出，反弹出的水滴以速度smv/0.2=2向四周均匀飞溅，形成顶角为201=2的圆锥面形状，如图1所示．求水柱对墙壁的冲击力．水的密度为23/10=mKg．提示：1．动量定理公式是矢量式，建立方程时要注意各矢量的方向，本题中根据对称性，把冲量分解到水平方向和竖直方向，竖直方向分冲量的矢量和为零．2．动量定理中的力是合外力，本题中必须分析水受到的重力，只是重力比墙壁反冲击力小得多，可以忽略不计．参考答案：在该问题中，重力对水柱的影响可以忽略不计．设龙头喷水方向为正方向．设在t时间内与墙壁发生碰撞的水柱质量为tSvm1．设水柱受到的墙壁冲击力为F．由动量定理得tvvvmvmvtF)cos(Scos=12112)cos(S121vvvF代入数据得NF84水柱对墙壁的冲击力F是F的反作用力，大小也为N84．【练习2】某种气体分子束由质量kgm-26105.4=，速度smv/406=的分子组成，各分子都向同一方向运动，垂直地打在某平面上后又以原速率反向弹回，如分子束中每立方米的体积内有20101.5=n个分子，求被分子束撞击的平面所受到的压强．提示：气体的压强等于器壁单位面积上受到的大量分子的撞击力，先由动量定理求气体受到的撞击力，其反作用力就是气体对器壁的压力。再利用压强定义式SFp可求压强。参考答案：在t时间内，射到面积为S的某平面上的气体质量为tnmSvm以速度方向为正方向，由动量定理得:tvnmSvvtnmSvtF---）（解得22nmSvF平面受到的压强aPnmvSFP4.322代入数据得P4.3注意：处理有关流体(如水、空气、高压燃气等)撞击物体表面产生冲力（或压强）的问题，可以说非动量定理莫属．解决这类问题的关键是选好研究对象，一般情况下选在极短时间△t内射到物体表面上的流体为研究对象小结：1．动量定理公式是矢量式，建立方程时要注意各矢量的方向，本题中根据对称性，把冲量分解到水平方向和竖直方向，竖直方向分冲量的矢量和为零．2．动量定理中的力是合外力，本题中必须分析水受到的重力，只是重力比墙壁反冲击力小得多，可以忽略不计．[例2]在宇宙飞船的实验舱内充满CO2气体，且一段时间内压强不变，舱内有一块面积为S的平板舱壁，如图2所示．假设气体中各有l／6的分子分别向上、下、左、右、前、后六个方向运动，且每个分子的速率均为v，设气体分子vv图22图11v2v与平板碰撞后仍以原速率反弹．已知实验舱中单位体积内气体摩尔数为n，气体的摩尔质量为，阿伏加德罗常数为AN．求CO2气体对平板舱壁的压力．解：每个分子的质量为AN，打击舱壁过程动量改变为vNA2．时间t内打击舱壁的分子数为AvtSnNN61，这些分子动量改变的总量为tSvnvNvtSnNPAA231261．设它们受到的总的冲击力为F，由动量定律有tSvnFt231，即得231SvnF，其反作用力F就是气体对平板的压力，于是有231SvnF小结：1．动量定理的研究对象可以是单一物体，也可是多个物体组成的系统，甚至是大量微观粒子组成的宏观系统；2．由于冲击作用过程时间极短，产生的变化很大，运用牛顿定律求解就比较困难，用动量定理可不考虑中间细节，只需分析整个过程中冲量的总体效果，是解决某些问题的重要方法．通常液体流、电子流、光子流、气体流等广义地视为“流体”，而电子流、光子流、气体流可统称为粒子流。对于液体流，选取质量Δm的液柱为研究对象处理；对于运动粒子流，通常是以体积元ΔV=Δt•v•S的体积内的N个粒子为研究对象，从而把问题转化成动量定理处理。下面就“流体类”问题建模的一般思路及解法举例说明。1.液体流问题【例题1】高压采煤水枪利用高速水流击碎煤层，已知高压水枪的出口面积为S，水流水平射到煤层后，水流速度即变为零，已知水密度为ρ，测得水流对煤层的冲击力为F，试求水流速度的大小。解析：水流连续地射到煤层上，对煤层产生一个持续的冲击力，设在Δt时间内，从水枪中射出的水的质量为Δm，先Δm的水为研究对象，Δm＝ρSvΔt，其中v为水流的速度，则由动量定理有FΔt＝Δmv＝ρSv2Δt所以水流速度为v=FρS。2.微粒流问题【例题2】运用动量定理求流体的冲力�0�2在学习动量时，我们常会遇到运动流体（包括气体和液体）与固体相互作用求平均冲力的问题。由于流体的质量是连续不断的，许多同学做起来感到困惑，实际上只要抓住以下三点，这类疑难问题就能迎刃而解。�0�21.建立一种模型——柱体模型对于流体问题，可沿流速v的方向选取一段柱形流体，设在时间内通过某一横截面S的流体长度为，如图（1）所示，若流体的密度为，那么，在这段时间内流过该截面的流体的质量为�0�22.掌握一种方法——微元法当所取时间为足够短时，图（1）流体柱长度甚短，相应的质量也很小。显然，选取流体柱的这一微小元段作为研究对象就称微元法。图（1）�0�23.运用一个规律——动量定理求解这类问题一般运用动量定理，即流体微元所受的合外力的冲量等于微元动量的增量，即。下面举例说明：�0�2例1.在采煤方法中，有一种是用高压水流将煤层击碎而将煤采下，今有一采煤高压水枪，设水枪喷水口横截面积，由枪口喷出的高压水流流速为，已知水的密度为，水流垂直射向煤层，试求煤层表面可能受到的最大平均冲击力。解析：采取微元法，选取贴近煤层表面的一小段水流柱为研究对象，受力如图（2）所示，设其质量为，以初速度v的方向为正方向，依题意，要使煤层表面可能的冲力最大，即水流柱受煤层的作用力最大，则柱体碰到煤层后其速度必与初速度大小相等，方向相反。由动量定理有：而所以即，代入数值得。�0�2图（2）�0�2小结：1．初动量0mv与动量的改变P的矢量和等于末动量mv，而动量的改变等于合外力的冲量Ft，利用矢量三角形关系，可以列出，初动量和末动量不在一条直线上的动量定理关系式．2．本题中，重力和电场力都与初速度垂直，则合力与初速度垂直，再进一步弄清冲量与动量的方向关系．小结：1．在本题中安培力是变力，如果用牛顿第二定律求速度就很困难，在变力作用过程中利用动量定理就很简捷；2．变力的冲量设为I，而不用Ft表示．1.动能定理和动量定理的综合应用，是最为常见的一种题型。