第4章流体动力学基本定理_4,5

4.4动量方程、动量矩方程及其应用4.4.1动量方程时刻t，任取一流体系统，体积V(t)、边界面S(t)，外法向量n。VSnP动量定理：系统内动量的变化率等于作用在系统上的合外力(）。FamBernoulli方程：速度分布压力分布动量方程：动量变化合力。)(tVdVv)()(tSntVdSdVpfP系统内流体动量:系统所受合外力：（系统）[流出动量]CS–[流入动量]CS=[合外力]CV+CS定常流动：（控制体）SnVSdSdVdspfnvv)(zsnysnxsnPdswvPvdsvPudsv动量方程反映了物体与流体间的相互作用，是积分形式的方程，对理想和粘性流体都适用。——CV内流体动量的变化与单位时间内（净）流出CS的动量之和等于外界作用在CV和CS上的合力。（控制体）VSnPPv)(tVdVDtD输运公式SnVSVdSdVdSdVtpfnvvv)(常用假设：SnVSdSdVdspfnvv)(（1）壁面无摩擦（理想流体）：（2）忽略质量力：f=0;（3）进出口流动均匀:V=const.nppn4.4.1动量方程4.4.2动量矩方程动量矩定理：cv内关于某一点动量矩的变化率与单位时间内流出cs的动量矩之和等于外界作用在cv上的力关于同一点的矩:MnvvrvrdsdVtSV)()()(SnvdsdV)()(prfrM外力矩：SnvSdsdVds)()()()(prfrnvvr定常流动：[流出动量矩]CS–[流入动量矩]CS=[合外力矩]CV+CSzSnySnxSnMdsvyuxvMdsvxwzuMdsvzvyw直角坐标系中:4.4动量方程、动量矩方程及其应用1、建立相应的坐标系2、选取合适的控制面（控制体）：1）边界面或流面2）速度及压强分布已知的面3、根据相应问题及动量(矩)定理：动量（矩）的变化率=外力（矩)，按以下方式直接写出表达式：Q以流出为正,流进为负,速度外力v,F等与坐标轴方向为准,求力矩时,将v对矩心取矩,其方向代表动量矩方向具体应用动量（矩）方程的步骤4.4.3动量、动量矩方程应用SnVSdSdVdspfnvv)(例1．如图所示，不可压流体定常流过弯管，截面各为，求流体作用于弯管上的力，已知进出口截面流面流动均匀，忽略质量力，且已知及出口截面方向。2,1AAR1211p,,A,A,vA1V1P1A2n2n14.4.3动量、动量矩方程应用SnVSdSdVdspfnvv)(图4.3.6孔口出流ABhp0p0例2、孔口出流反推力Find:液箱受到的反推力Given：大容器小孔口，液面高度h。例3、大气中二元流冲击平板Given：b0、V0，a，p0，不计粘性。Find：流体对平板的作用力。4.4.3动量、动量矩方程应用SnVSdSdVdspfnvv)(（4）Bernoulli方程：（5）连续方程：221100bVbVbV210bbb210VVVnppnPbVVbVVbVVbVV00000022211)sin)((00)cos)(()(Solution:（1）取坐标系oxy及控制体：端面足够远；（2）设P为流体对平板的冲击力方向如图；（3）列动量方程(表压力)：0V1V2V1b2b0bePyxo得Ｐ就是流体对平板的冲击力，方向与图示方向相同，指向平板。02010202cos12cos1sinbbbbbVP0V1V2V1b2b0bePyxoPeVbVbVbVb2222111122ctgbe20（“－”表示f在x轴正方向）（6）求冲击力P的作用点f的位置e：对坐标原点o取矩：图中叶片以匀速ve沿x方向运动，截面积为A0的一股水流沿叶片切线方向射入叶片，并沿叶片流动，最后从叶片出口处流出。设水流经过叶片时截面积不变，因而流速的大小不变（等于vr),只是方向改变。已知A0=0.001㎡，v0=120m/s，ve=60m/s出口速度方向与水平线夹角θ=100。求水流对叶片的反作用力以及对叶片所做的功率。例4A0v0veθ4.4.3动量、动量矩方程应用解yxovrA0vrveθ•取如图所示的坐标系和控制体，并假定受力方向均沿坐标轴正向•沿x和y分别列出动量方程)(0ervvvNvAvvAvFrrrrx7146)cos)(())((00NvAvAvFrrry625)sin)(()0)((00kW76.428607146exvFP例5、明渠水流经闸门流动如图所示,假定流体是理想的,流动是平面定常的,1-1和2-2截面上流速均匀,压力分布与静水情况相同。如已知求单位宽度闸门上所受到的力。4.4.3动量、动量矩方程应用H1H2作业4-3,4,54.5旋涡运动基本定理4.5.1开尔文（Kelvin）定理——旋涡强度的保持性定理流体线：由确定的流体质点所组成的线。定理1如果流体理想、正压、质量力有势，则沿封闭流体线的速度环量不随时间变化。又称为Thomson定理。0DtD证明：•可证得UpDtDfv•若理想流体、正压、质量力有势(Kelvincondition)：llDtDDtDlvlvdd速度环量导数加速度环量0)d(d)(llUUDtDlKelvin定理的几个推论：4.5.2Lagrange定理-涡量保持性（不生不灭）定理定理2：如果流体理想、正压、质量力有势，若某一时刻流场无旋，则以后的流动始终无旋。(1)粘性：均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋；(2)非正压流场：大气和海洋中的密度分层形成旋涡；(3)非有势力场：地球哥氏力使气流生成旋涡（旋风）；(4)流场的间断（非连续）：曲面激波后形成有旋流动。旋涡产生原因4.5.3Helmholtz定理-涡线和涡管保持定理定理3如果流体理想、正压、质量力有势，则组成涡线的流体质点永远组成此涡线。定理4如果流体理想、正压、质量力有势，则组成涡管的流体质点始终组成此涡管，且涡管的强度不随时间而变。综上所述，Kelvin、Lagrange及Helmholtz定理全面地描述了理想正压流体在有势场中运动时涡量演化的规律：若流体理想、正压、质量力有势，无旋运动永远无旋，有旋运动永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度具有保持性。若不满足Kelvin任一条件，则运动过程中会产生新的旋涡，无旋变成有旋,不具备保持性。④bae_146wingboundvortextrailingvortextrailingvortexVkelvin_helm_rollupSirWilliamThompson(LordKelvin),borninBelfast,Contributedsignificantlytothefieldofhydrodynamicsasisevidencedbyhis661papersand56patents.When11yearsold,heenteredthetheUniversityofGlasgow,leavingin1841toenterPerterhouse,CambridgeUniversity,tofurtherhiseducation.TomeetBiotinParis.In1846hebecameProfessorofNaturalPhilosophyatGlasgow,apostheheldfor53years.Contributions:Longwaves,heatconduction,thermodynamics,submarinecables.Philosophy:“Therecannotbeagreatermistakethanthatoflookingsuperciliouslyuponpracticalapplicationsofscience”.Buried:inWestminsterAbbey.LordKELVIN(1824–1907):4.5.4Biot—Savart定理—涡线的诱导速度电流在磁场中会诱导磁场强度—旋涡在流场中会诱导流体速度。对应关系：水电比拟—物理现象不同，但满足相同的数学方程，其数学解相同。电磁场流场方程磁场强度H～v流体速度磁场势V～φ速度势电流面密度δ～Ω涡量电流强度i～Γ速度环量vHvHV000022VΩvδHlSlSdsddsdinlvnlHΩδ电流诱导磁场强度3d4drirlH3d4drrlvdsin4)sin/d(sin4sind4d23Rrrrrlv旋涡诱导流体速度vdMldLiΓHdr4.5.4Biot—Savart定理—涡线的诱导速度12dsin4sind42RrlVL12coscos4RV直涡线L在M点处诱导速度的大小诱导速度方向指向纸里。ΓLldMR12dr4.5.4Biot—Savart定理—涡线的诱导速度一般记忆方式采取两内角余弦之和。)cos(cosR4v21半无限长直涡线，20，1/2：无限长直涡线，20，10：平面点涡诱导速度场：rvvr20，RV2RV4vMR4.5.4Biot—Savart定理—涡线的诱导速度诱导速度场除点r=0外处处无旋v=0。尽管涡线本身是有旋的，它诱导的速度场是无旋的。平面点涡诱导速度场的速度势和流函数：2,rdvdrvrrrrdvdrvrrln2,4.5.4Biot—Savart定理—涡线的诱导速度举例讨论两平行直线涡群的运动，如图在M1，M2点处分别有两个强度为点涡。21,作业4-6,4-8,4-9