第十七章___方差分析(F检验)

第十七章方差分析(F检验)（１）从总变异中分出组间变异和组内变异。（２）将组间变异和组内变异进行比较，若组间变异大于组内变异，且超过一定界值范围，可认为多组样本均数的差异是由处理因素造成的,若两者差异不大，或组间变异小于组内变异，可认为多组样本均数的差异是由抽样误差造成的，处理因素不起多大作用。（３）F检验只能说明4组总的有无差别，欲知每两组之间差别用q检验.（４）方差不齐时,用变量变换成正态后再作F检验.总结单因素多组样本均数方差分析基本思路方差分析——变异数分析(analysisofvariance)与t检验一样,都属于参数统计.(参数统计——由样本指标估计总体指标。)与t检验的差别：t检验-----适用于两组试验计量资料处理.方差分析-----适用于多组资料样本均数比较概述第一节方差分析的原理、条件及应用方差——均方差——离均差平方和/自由度,用MS表示MS(方差):是标准差的平方标准差S=标准差S2=SS即离均差平方和1)(2nxxMSnxx1)(2MS表示变异程度MS大------变异大MS小-------变异小一方差分析的原理将全部观察值的变异(总变异)按设计需要分为两个或多个组成部分,然后按变异来源进行分析.总变异分为：①处理因素(变异的一个来源)——MS组间即一个处理因素是一个变异来源,两个或多个处理因素是变异的两个或多个来源.②误差(个体变异)——即余下的变异------MS组内例:欲分析不同季节对湖水氯化物含量的影响,某年度某湖不同季节湖水氯化物含量测定结果如下,试比较不同季节湖水氯化物含量差别有无显著性?春夏秋冬22.619.118.919.022.822.813.616.921.024.517.217.616.918.015.114.824.015.216.613.121.918.414.216.921.520.116.716.221.221.219.614.8171.9159.3131.9129.3592.4(∑X)ni888832(N)21.4919.9116.4916.1618.51()3724.53231.952206.272114.1111276.84(∑X2)iXijiXiijX2_X方差分析的统计量为F值(均方比)F=MS(组间)/MS误差(组内)(单因素方差分析)误差的均方(组内均方)——个体差异处理因素的均方(组间均方)——处理因素+个体因素○若处理因素有作用,则组间均方应大于组内均方.即MS组间MS误差,F=MS组间/MS组内1○若处理因素不起作用,各样本均来自同一整体.即MS组间≈MS误差,则F=MS组间/MS组内≈1F值是方差分析的统计量,可查F界值表,求得F值,按所取检验水平作统计判断.二方差分析的应用1两个或多个样本均数的比较(多个样本均数差别的显著性检验)2回归方程的假说检验.3方差齐性检验。4分析两因素或多因素、多水平有交互作用资料的分析。关于单因素与两因素方差分析单因素：如果将研究的季节、病种、时间等称为“因素”，仅按不同季节、不同病种、不同药物或治疗时间分组称单因素分组。两因素：既按治疗前后不同时间，又按不同患者的病程或年龄分组，叫两因素分析。（药A）（药B）（药C）（药D）Ⅰ血压值ⅡⅢ例：针刺降压观察，将高血压分为三期（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），观察不同药物(A药、B药、C药、D药)对血压影响：由此分析药物对哪一期高血压降效应最好，且反映出什么药物降压效果最明显。处理配伍A(安妥明)B(降脂甲方)C(降脂乙方)D(降脂丙方)按体Ⅰ重高Ⅱ低分Ⅲ为四Ⅳ组################################################################○例如观察四种降脂药对4组动物动脉粥样硬化斑块的影响，比较不同药物对动脉粥样硬化形成大小有否影响。三方差分析的条件1独立性各随机样本相互独立。2随机性各样本均是随机样本。3正态性各样本均来自正态分布的整体。（各因素每一水平的重复数椐均服从正态分布。）4一致性各处理组总体方差相等。四方差分析的基本思想1从总变异中分出组间和组内变异,并用数量表示变异程度。2将组间变异和组内变异进行比较，如两者差别不大，说明处理因素影响不大，如两者相差较大，且组间变异比组内变异大得多，说明处理因素影响为主。（一）方差分析的基本思想（二）变异分析○例:欲分析不同季节对湖水氯化物含量的影响,某年度某湖不同季节湖水氯化物含量测定结果如下,试比较不同季节湖水氯化物含量差别有无显著性?下表为:不同季节湖水氯化物含量(ng/L)春夏秋冬22.619.118.919.022.822.813.616.921.024.517.217.616.918.015.114.824.015.216.613.121.918.414.216.921.520.116.716.221.221.219.614.8171.9159.3131.9129.3592.4(∑X)ni888832(N)21.4919.9116.4916.1618.51()3724.53231.952206.272114.1111276.84(∑X2)iXijiXiijX2_X分析上表结果有三个变异1总变异32次测定湖水氯化物含量不尽相同。原因是：①季节影响；②误差作用（个体差异）2组内变异同一季节中8次测定值不尽相同。原因：不是由于季节影响，是由于误差（个体因素造成）3组间变异各季节湖水氯化物含量均数不尽相同。原因:季节对湖水氯化物含量影响，也包括误差。分析如处理无作用(季节无影响),则各样本均数来自同一个整体即组内、组间方差都是总体方差的估计值.MS组内≈MS组间≈σ2(总体均方)均方比F=MS组间/MS组内≈1认为多组样本均数差异是抽样误差所致。如处理有作用(季节有作用)则各均数不取自同一整体.MS组间≠MS组内且MS组间受两因素影响(个体变异+处理因素)MS组间＞MS组内F值＞1认为多组样本差异是由处理因素所致。方差分析也称F检验.F值=均方比。F值是方差分析的统计量,可查F界植表,得到P值,按所取检验水准作统计判断。（三）分析步骤求SS(总变异)求SS组间、MS组间求SS组内、MS组内1求总变异的离均差平方和(SS总)Xij表示第i组第j个观察值。求32个观察值中每一观察值与总均数之差的平方和。总均数SS总=(22.6-18.51)2+(22.8-18.51)2+……(16.2-18.51)2+(14.8-18.51)2=310.0ijXxijSS2_)(总2求组内变异的离均差平方和(SS组内)及均方(MS组内)SS组内指每个季节内部各观察值与每组均数()之差的平方和春夏秋冬21.4919.9116.4916.162)(ijiXXijSS组内iX春季==(22.6-21.49)2+……+(21.2-21.49)2=30.8夏季==(19.1-19.91)2+……+(21.2-19.91)2=59.9秋季==(18.9-16.49)2+……+(19.6-16.49)2=31.6冬季==(19.0-16.16)2+……+(14.8-16.16)2=24.3jjXX211)(jjXX222)(jjXX23_3)(jjXX244)(本例SS组内=30.8+59.9+31.6+24.3=146.6)(/自由度组内kNSS组内均方MS组内=N为测定值总个数,k为组数.=146.6/32-4=5.23组间变异的离均差平方和(SS组间)及均方(MS组间)SS组间指各季节氯化物含量的均数()与总均数()的平方和SS组间=(ni为每组有n个观察值)本例SS组内=8(21.49-18.51)2+8(19.91-18.51)2+8(16.49-18.51)2+8(16.61-18.51)2=163.5MS组内=SS组内/k-1(组数-1)=163.5/4-1=54.52)(iiXixniXX将上式移项SS组内=SS总-SS组间算出SS总及SS组间,可求出SS组内以后计算可简化.由以上结果看出:SS总=SS组间+SS组内=146.6+163.5=310.14计算F值F=MS组间/MS组内=54.5/5.2=10.48注MS组间MS组内如果MS组间MS组内.那么季节影响不值注意.5确定自由度υ(分子)组间自由度υ1=k-1=4-1=3υ(分母)组内自由度υ2=N-k=32-4=286确定P值查附表F值表F0.01(3,28)=4.59本例F=10.48F0.01(3,28)故P0.01**本例需用内插法求内插法:由F0.01(3,20)=4.94F0.01(3,30)=4.51求F0.01(3,28)F0.01(3,28)=4.94-(28-20)/(30-20)×(4.94-4.51)=4.59结论：不同季节的湖水氯化物含量不同。注：因上述过程易理解，但计算繁杂，实际工作中用下列简化方法。五简化方法计算步骤H0各季节的湖水氯化物含量的均数相等μ1=μ2=μ3=μ4H1：各总体均数不等或不全等。α=0.051检验假说2列计算表(前表的下半部分)分别算出各季节的及这四个值的合计项∑XnjXiiiX_iijx2niX2X3计算离均差平方和(SS)(1)求校正值(C)C==(592.4)2/32=10966.8(2)求总变异的离均差平方和(SS总)SS总=∑X2-C=11276.8-10966.8=310NX2)((3)求组间变异的离均差平方和SS组间=-C(各组样本含量不等)iniXiji2)(SS组间=CniXiji2)((各组样本含量相等)本例各组样本含量相等.故8.109668)3.129()9.131()3.159()9.171(2222SS组间==11130.3-10966.8=163.5SS组内=SS总-SS组间=310-163.5=146.5或SS组内=∑(ni-1)Si2=∑SSi(4)求组内变异的离均差平方和(SS组内)4列方差分析表iijnxij2)(1kSS组间组内组间MSMSkNSS组内变异来源SS自由度MSF值总变异∑X2-CN-1组间-Ck-1组内SS总-SS组间N-kiijnxij2)(1kSS组间组内组间MSMSkNSS组间本例方差分析表变异来源SS自由度υMSF值总变异310.031组间163.5354.510.48组内146.5285.2依椐组间自由度υ1=3组内自由度υ2=28查F界值表0.01水平F(3,28)=4.59本例F=10.48F(0.01)故P0.01判断结果拒绝H0,接受H1结论:不同季节湖水氯化物含量的均数差别有高度显著性(P0.01)5确定P值