69第4章 线性方程组解的结构

1第四章线性方程组的解的结构§1线性方程组解的存在性定理§2齐次线性方程组解的结构§4线性方程组在几何中的应用§3非齐次线性方程组解的结构-2-§4.1线性方程组解的存在性定理在前面的章节学习中，我们已经研究了关于线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。-3-(4-1)mnmnaaaaA1111mbbb1nxxx1bAx(矩阵形式)bxxxbAxnn2121),,,(bxxxnn2211(向量形式)mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(原始形式)-4-非齐次方程组解的存在性定理定理4.1.1对于非齐次方程组)0(bbxAnm)~()()~()()1(ArArArAr无解有解nArAr)~()()2(有唯一解nArAr)~()()3(有无限多解(4-1)向量可由A的列向量组bn,,,21线性表示。(定理2.6.1)推论10||,Anm有唯一解上述方程组时当-5-齐次方程组解的存在性定理(4-3)mnmnaaaaA111100bnxxx10Ax(矩阵形式)02211nnxxx(向量形式)000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(原始形式)-6-定理4.1.3对于齐次线性方程组0xAnmnAr)(只有零解nAr)(有非零解即有无限多解(1)A的列向量组线性无关(2)A的列向量组线性相关推论2当方程的个数m小于未知量的个数n，则(4-3)必有非零解。(定理2.6.2)推论30||,Anm只有零解上述方程组时当-7-1111221,1112112222,1121122,11nnnnnnnnnnnnnaxaxaxaaxaxaxaaxaxaxa例1设n(n≥2)阶方阵A是可逆矩阵，证明无解。例2对于非齐次方程组mnAXb(1)证明:如果AX=b有唯一解，则AX=0仅有零解；(2)如果AX=0仅有零解，则AX=b一定有唯一解吗？-8-§4.2齐次线性方程组解的结构(2)解集的秩是多少?(3)解集的最大无关组(又称为基础解系)如何求?0Ax齐次方程组(假设有无穷多解)(1)解集的特点?是方程组的解，若nncxcx,,11.),,(1为方程组的解向量则称TnccX称：-9-性质1：若是(4-3)的解，12,解空间:0AX的所有解向量的集合S，对加法和数乘都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的解空间。{|0,}nSXAXXR的解。也是则)34(21性质2：,)34(1Rk的解，是若的解。也是则)34(1k注：如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。性质推论1而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。首先回答问题(1)-10-设12,,,nr是0AX的解，满足121,,,nr（）线性无关；20AX（）的任一解都可以由12,,,nr线性12,,,nr是0AX的一个基础解系。基础解系表示,则称下面我们用一个例子回答第(2)和第(3)个问题，同时也是定理4.2.1的例证。rnrnkkkx2211(取任意实数)ik从而是(4-3)的通解。-11-0252062420832032543215421543215421xxxxxxxxxxxxxxxxxx通过下面的例子,针对一般的方程组例1回答所提问题.rAxAnm)r(,0-12-54354215432xxxxxxx第一步:对系数矩阵A初等行变换化行最简形BBAr0000000000541003102125121620428312131021第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边.右边的又叫自由变量)自由变量的个数=?-13-54354215432xxxxxxx选取自由变量：x2,x4,x5。第三步:令100,010,001542xxx代入求31,xx再写出相应的解，即得基础解系:105-03,01401,00012321第四步:写出通解)(332211Rkkkkxi-14-由于基础解系所含解向量的个数正好等于自由变量的个数(这里3个).,,542xxx只要令为三个线性无关的向量.代入同解方程组(1)中求得31,xx然后再拼成解向量.必然是线性无关的,从而也是基础解系.由此得到下面的解法二.-15-第一步:同前第二步:同前)1(54325435421xxxxxxx第三步:令111,011,001542xxx代入(1)求31,xx再拼基础解系:11116,01413,00012321第四步:写出通解)(332211Rkkkkxi-16-设A是mn矩阵，如果(),rArn则齐次线性方程组0AX的基础解系存在，且每个基础解系中含有nr个解向量。定理4.2.1推论2设A是mn矩阵，如果(),rArn则齐次线性方程组0AX的任意个线性无关的解向量均可构成基础解系。nr-17-xxxxxxxxxxxx123123123123230361002570240解：1233610257124A3,rAn所以只有零解，基础解系不存在。例2:求下列齐次方程组000100010001-18-例4设,是的1)(nArnm21,0Ax两个不同的解向量,k取任意实数,则Ax=0的通解是)((D))((C)(B)(A)212121kkkk例3求四元方程组的基础解系。004221xxxx-19-设,证明OBAlnnmnBrAr)()(证],,,[21lB记则由),,1(0liAOABi说明),,1(lii都是0Ax的解)A(rn))A(S(r],,,[rl21因此nBrAr)()(移项重要结论推论3-20-的三个解向量，是设OAXAR32156,,,2)(且线性无关，则_______是AX=O的基础解系。;,)1(3221;,,)2(321;,,)3(133221.,,)4(133221(2),(3)的不同的解，是设OAX21,,1)(nARnm则_______可为AX=O的基础解系。;)1(11k;)2(22k);()3(21k).()4(21k(4)练习(1)(2)-21-例5)()()(TTAArAArAr证明设,首先证明nmA0)(,0)(,0xAAxAxxAATT即则满足若00)()(AxAxAxT同解与0)(0xAxAnnTnmA)()()()(AArArAArnArnTT因此即则满足若,0)(,0)(xAxAxAxATTT)()())(()(ArArAArAArTTTTT利用这一结论证重要结论-22-例6求一个齐次方程组,使它的基础解系为T)3,2,1,0(1T)0,1,2,3(2记之为AB=O,这相当于要解矩阵方程,习惯把未知OABTT0xBT的A放在右边,转置,只需解然后再把这些解拼成的列(A的行)即可.TA01233210TB解得基础解系0xBT,)0,1,2,1(1TT)1,0,3,2(2设所求的齐次方程组为,则0AxOA],[21取1032012121TTA即可.解-23-§4.3非齐次线性方程组解的结构以下总假设)1(bxAnm有解,而其对应的齐次方程组)2(0xAnm的基础解系为rn,,,21这里)r(Ar-24-)1(......bxAnm)2(......0xAnm性质(1)设都是(1)的解,则21,21x是(2)的解.(2)设是(1)的解,是(2)的解,则仍是(1)的解.x设是(1)的一个解(固定),则对(1)的任一解xx是(2)的解,从而存在使得ikrnrnkkkx2211)3(2211rnrnkkkx又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.ik由此得:(3)注：非齐次方程组的解集不是空间。-25-定理4.3.1设是(1)的任一解,则(1)的通解为)(2211Rkkkkxirnrn.2132,13,0432143214321xxxxxxxxxxxx2132111311101111~A,00000212100211011例7故方程组有无穷多解可见,42)~()(ArAr解-26-2122143421xxxxx,042xx取,2131xx则T)0,,0,(2121xxxxx434212在对应的齐次方程中取,100142及xx,210131及则xx,1201,001121得齐次线性方程组的基础解系).,(,0210211201001121214321Rccccxxxx于是所有通解即得方程组的一个解-27-021mkkkm,,,21设是非齐次线性方程组Ax=b的解,则mmkkk2211是Ax=0的解mmkkk2211是Ax=b的解121mkkk例8※※-28-例9假设123,,是AX的三个解向量，r(A)=2,已知12232(1,2,0),(1,2,3)TT求AX的通解。-29-例10设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知是它的三个解向量,且321,,4321,5432321求该方程组的通解.解T)6,5,4,3()(2321取,则它就是解,从而也是基础解系.基础解系所含向量个数=4–3=1故非齐次方程组的通解为)(1Rkkx-30-本节