赵树�微积分第四版第一章 函数

在一切理论成就中，未必有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的卓越胜利了（恩格斯）《微积分》主编赵树嫄中国人民大学出版社教材：同时发明了微积分，微积分研究的主要对象就是函数。微积分(Calculus)是一门以变量为研究对象、以极限方法作为研究工具的数学学科，应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了微分学；应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生了积分学。英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹第一章函数(一)集合的概念第一节集合把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来看待时，这个整体便称为是一个集合。组成集合的那些个体称为集合的元素。例如全体中国人可组成一个集合，每一个中国人均是这个集合的元素。通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。如果a是集合A的元素，则记作aA，读作a属于A；如果a不是集合A的元素，则记作aA，读作a不属于A。常见数集的记号：自然数集},,,3,2,1,0{nN整数集},,,3,2,1,0{nZ有理数集},,,|{互素且qpZqNpqpQ正整数集},,,3,2,1{nZ实数集}{全体实数R由有限个元素构成的集合称为有限集，由无限多个元素构成的集合称为无限集。例如：2N，2.5N，-3N，2.5Q，-3Z。(二)集合的表示法通常集合的表示有两种方法：(1)列举法：按任意顺序逐一列举集合中的元素于花括号内，元素之间用逗号隔开。(2)描述法：给定一个条件P(x)，当且仅当元素a使P(a)成立时，aA。其一般形式为A={a|P(a)}。例如上述集合B={a|aN且4a8}又如例如：A={2,a,b,9},B={4,5,6,7,8}}|2{NiCi}2222{3210，，，，即C,}50|2{xNxxD且}100,98420{，，，，即DBA集合以及集合间的关系可以用如下的图形表示，称为文氏图，即用一个平面区域表示一个集合。BAE(三)全集与空集不含任何元素的集合称为空集，记为Ø。在研究某一问题时，如果所讨论的集合都是某一集合的子集，则称此集合为全集，记作U.(四)子集如果集合A的元素也是集合B的元素，则称B包含A，或称A是B的子集，记作：如果A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作BA如果集合A和B互相包含，即AB且BA，则称A和B的相等，记作A=B。.ABBA或.ABBA或RQZN对任一集合A，有.UA常用数集：(五)集合的运算1、并集}|{BxAxxBA或例如，,}3,2,1{A}5,4,3,2,1{BA,}5,4,3{B则基本性质：BAEAAAUUAAA,,BABBAA,2、交集}|{BxAxxBA且例如，,}1|{xxA.}10|{xxBA,}20|{xxB则基本性质：BAEAAAAUAA,,BBAABA,3、差集}|{BxAxxBA但例如，R-Q表示全体无理数组成的集合。基本性质：BABABAEABE4、补集,}|{AxUxxA且其中U为全集。例如，,},3,2,1,0{U},7,5,3,1{A,},6,4,2,0{A则AAUAA,基本性质：AU(六)集合运算律交换律：ABBAABBA结合律：)()(CBACBA)()(CBACBA分配律：)()()(CABACBA)()()(CABACBA对偶律：BABABABA例1证明对偶律证明.BABA设BAx，则BAx，即Ax且Bx，于是Ax且Bx，因此BAx，所以BABA；反之，若BAx，即Ax且Bx，也即Ax且Bx，于是BAx，从而BAx，所以BABA。综上所述，BABA。例1证明对偶律或证.BABA对任意的BAxAx且Bx所以BABA。BAxAx且BxBAx例2证明.BABA证明对任意的BAxAx且Bx所以BABA。Ax且BxBAxBAU例3证明吸收律证明)(BAA.)(ABAAABAA)(吸收律证明留作练习。)()(BAUA)(BUAUA.A例4证明BABAA)(证明)(BAA)(BAA)(BAA)()(BAAA)(BABABA.BA例5证明证明BAABA设ABA,,ABABABBA)()(BBAA设BA,BABA)(BA)(BBAEA.A.)()(BABA集合元素的计数问题：定义集合A中所含元素的个数称为集合A的基数，记作|A|。容斥原理：设A,B为有限集，则||||||||BABABA特别，如果，BA||||||BABA(称为分离的)则例1有100名程序员，其中47名熟悉FORTRAN语言，35名熟悉PASCAL语言，23名熟悉这两种语言。问有多少人对这两种语言都不熟悉？.4159100解234735,5923354741两种语言都不熟悉的人有由容斥原理，至少熟悉一种语言的人有||||||BAABA特别，若AB，则||||||BABA。BAEABES例2在12000的整数中，有多少整数(1)能被6或8整除；(2)既不能被6也不能被8整除；(3)能被6整除而不能被8整除.设A—能被6整除的整数；]62000[||A解B—能被8整除的整数.，333,25025033383，83则]82000[||B]242000[||BA||||||||)1(BABABA.50083250333S25033383例2在12000的整数中，有多少整数(1)能被6或8整除；(2)既不能被6也不能被8整除；(3)能被6整除而不能被8整除.解||)2(BA||BA||2000BA.1500||)3(BA||||BAA.25083333||)3(BA;86556180U618055解例3某地区有100个工厂，其中，80个生产甲种机床，以集合A表示这些工厂；61个生产乙种机床，以集合B表示这些工厂；55个两种机床都生产。试用集合表示下列各类工厂，并计算出各类工厂的数目：(1)生产甲种机床而不生产乙种机床的工厂；(2)生产乙种机床而不生产甲种机床的工厂；(3)甲、乙两种机床至少生产其中一种的工厂；(4)甲、乙两种机床都不生产的工厂。||)1(BA||||BAA;255580||)2(BA;65561||)4(BA.14||100BA||||||BABA(七)集合的笛卡尔乘积按先后次序排列的两个元素组成一个整体，称序偶，记为),(ba。定义定义称集合},|),({ByAxyx为集合A与B的笛卡尔乘积，记为BA.例1设},{baA，}3,2,1{B，则)}3,(),2,(),1,(),3,(),2,(),1,{(bbbaaaBA)},3(),,2(),,1(),,3(),,2(),,1{(bbbaaaAB一般，ABBA。设A,B都是有限集，则有||||||BABA例2设}20|{xxA，}10|{yyB，则}10,20|),{(yxyxBA，它表示平面直角坐标系中一个矩形区域：xyo21例3设R为实数集，则R×R表示坐标平面，而R×R×R表示三维实空间。(一)实数与数轴实数有理数无理数整数分数(无限不循环小数)正整数零负整数实数与数轴上的点是一一对应的。qp有理数:其中p,q为既约整数,且.0q数轴0x1(二)实数的绝对值设a为一实数，则其绝对值定义为0,0,||aaaaa几何意义：|a|表示数轴上点a到原点的距离。|a-b|表示数轴上两点a和b之间的距离。0xa||a绝对值的基本性质：;0||a;||||aa;||||aaa;||||||baba;||||||baba;||||||baab;||2aa.0,||||||bbaba;||axaaxaxaxax||或绝对值不等式的解：例1解下列绝对值不等式：解3|1|)1(x2|1|)2(x3|1|)1(x313x.412x2|1|)2(x2121xx或31xx或x12121x1313133例2解绝对值不等式：解.2|23|2xx22322322xxxx0304322xxxx3041xxx或01x或43x，x0143即)4,3()0,1(x。(三)区间，}|{bxax开区间.),(ba记作,}|{bxax闭区间],[ba记作oxaboxaboxab,}|{bxax左开右闭区间左闭右开区间],(ba记作,}|{bxax),[ba记作oxab}|{),[axxa}|{),(bxxboxaoxb无限区间}|{),(Rxxox(四)邻域.0,且是两个实数与设a:去心邻域的点a,}|||{邻域的称为点数集aaxx记作xaaa,),(aU),(aU}||0|{),(axxaU记作xaaa,称为这邻域的中心点a。称为这邻域的半径}|{),(axaxaU),(aa:邻域的左点a:邻域的右点axaaa),(aaxaaa第三节函数关系(一)函数关系.}),(|{)(DxxfyyDfRf全体函数值组成的集合称为函数的值域,记为fR或)(Df,即定义设数集RD,ΦD，如果对D中的每一个x，按照某个对应法则f，有唯一的数Ry与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记为)(xfy，Dx。其中D称为定义域。x称为自变量，y称为因变量.在函数的定义中，对于每个)(fDx，对应的函数值)(xfy是唯一的(因此,也称为单值函数)，注意：例如，2xy而对于每个)(fRy)，以之作为函数值的自变量x不一定唯一.是定义在R上的一个函数，它的值域是}0|{)(yyfR对于每个函数值)(fRy，对应的自变量有两个，即yx和yx.例1判断下列各对函数是否相同？（1）1,1tsxy（2）xxyxy2,相同（3）2,xyxy不同(定义域不同)（4）33,xyxy不同(对应法则不同)（5）xyxyln2,ln2相同不同(定义域不同)=|x|确定函数的两要素：定义域和对应法则。(二)定义域的确定(1)根据实际问题；(2)自然定义域：使算式有意义的一切实数值。如何求函数的自然定义域？(d)xarcsin或xarccos,1||x；(a)分式的分母不等于零；(b)偶次根号内的式子应大于或等于零；(c)对数的真数应大于零；(e)若函数的表达式由多项组成,则定义域为各项定义域的交集；(f)分段函数的定义域是各段定义域的并集。例2求下列函数的(自然)定义域。因此，函数的定义域为xxy22)1()23ln(1)2(xy225151arcsin)3(xxy解,022)1(xx，22x即定义域为.)2,2[,0)23ln(023)2(xx,13/2xx即.),1()1,32(D225151arcsin)3(xxy,25151)3(2xx,556